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矩阵的秩和行列式的关系
矩阵的秩与
矩阵是否可逆 有什么
关系
啊
答:
且在r<min(m,n)时,A中所有的r+1阶子式全为零,则A的秩为r。由定义直接可得n阶可逆
矩阵的秩
为n,通常又将可逆矩阵称为满
秩矩阵
, det(A)¹ 0;不满秩矩阵就是奇异矩阵,det(A)=0。 由
行列式的
性质1(1.5[4])知,矩阵A的转置AT
的秩与
A的秩是一样的。
矩阵的秩与
矩阵可逆
的关系
是什么?
答:
满
秩矩阵
一定是可逆矩阵,可逆矩阵一定是满秩矩阵。满秩矩阵是判断一个矩阵是否可逆的充分必要条件。若矩阵是满秩矩阵,则为n阶方阵,|A|≠0,即|A|是A的n阶非零子式,符合可逆矩阵只要求|A|<>0的条件,即为可逆矩阵。同时,可逆
矩阵的行列式
就是最高的不为零的子式(是n阶的),所以可逆矩阵...
两个矩阵的乘积为零矩阵,那么这两个
矩阵的秩
之间有什么
关系
?
答:
两个矩阵的乘积为零矩阵,那么这两个
矩阵的秩
之间
关系
: r(A)+r(B)<=n。推导过程如下:设AB = 0,A是mxn,B是nxs 矩阵 则 B 的列向量都是 AX=0的秩 所以 r(B)<=n-r(A)所以 r(A)+r(B)<=n
矩阵伴随
矩阵的秩
是什么?
答:
如果A的秩是小于n-1的话,伴随
矩阵的秩
是0。矩阵满秩,R(A)=n,那么R(A-1)=n,矩阵的逆
的秩与
原
矩阵秩
相等,而且初等变换不改变矩阵的秩,A*=|A|A-1,R(A*)=n R(A)=n-1,
行列式
|A|=0,但是矩阵A中存在n-1阶子式不为0,对此有:AA*=|A|E=0,从而r(A)+r(A*)...
伴随
矩阵和
原
矩阵的秩的关系
答:
3、伴随矩阵和原
矩阵的关系
伴随矩阵和原矩阵之间存在一些关系,例如如果一个矩阵可逆,则它的伴随矩阵也可逆,且它们的
行列式
互为倒数。此外,如果一个矩阵是满
秩
的,则它的伴随矩阵也是满秩的。这些关系使得可以通过原矩阵的一些性质来推断伴随矩阵的性质。伴随矩阵和原矩阵的应用 1、在解线性方程组中...
矩阵的秩和
特征值有什么
关系
?
答:
关系
:如果矩阵可以对角化,那么非0特征值的个数就等于
矩阵的秩
;如果矩阵不可以对角化,这个结论就不一定成立了。为讨论方便,设A为m阶方阵。证明:设方阵A的秩为n。如将特征值的取值扩展到复数领域,则一个广义特征值有如下形式:Aν=λBν。其中A和B为矩阵。其广义特征值(第二种意义)λ 可以...
齐次线性方程组系数
矩阵的秩与
解的情况
的关系
?
答:
A)=n,方程组有唯一零解,齐次线性方程组的系数
矩阵秩
r(A)<n,方程组有无数多解,n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数
行列式
为零。齐次线性方程组:有非零解的充要条件是r(A)<n。即系数矩阵A
的秩
小于未知量的个数。推论:齐次线性方程组仅有零解的充要条件是r(A)=n。
怎么理解线性方程组的解
与矩阵秩的关系
答:
如果该
行列式
为一个n阶行列式,那基础解系的解向量为n减去
秩的
数量,简单的说解向量的个数为零行数。对有解方程组求解,并决定解的结构。这几个问题均得到完满解决:所给方程组有解,则秩(A)=秩(增广
矩阵
);若秩(A)=秩=r,则r=n时,有唯一解;r<n时,有无穷多解;可用消元法求解。当...
为什么
矩阵的秩
可以判断其线性相关性呢?
答:
【无关组的加长组仍无关】一个向量组线性相关,则在相同位置处都去掉一个分量后得到的新向量组仍线性相关。【相关组的缩短组仍相关】若向量组所包含向量个数等于分量个数时,判定向量组是否线性相关即是判定这些向量为列组成的
行列式
是否为零。若行列式为零,则向量组线性相关;否则是线性无关的。
矩阵A
的秩
等于
矩阵的
阶数吗?
答:
设
矩阵
A为m*n阶矩阵。矩阵A
的秩
为r,若r=n,则矩阵列向量组线性无关,若r<n,则矩阵列向量组线性相关。同理若r=m,则矩阵行向量组线性无关,若r<m,则矩阵行向量组线性相关。向量组只包含一个向量a时,a为0向量,则说A线性相关; 若a≠0, 则说A线性无关。包含零向量的任何向量组是线性...
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