极值的举例

Question

如题所述

Answer 1

例题
求函数f(x,y)=x^3+y^3-2x^2-2y^2+6x的极值
应该是fx=0，fy=0得到四个点，再代入值比较大小。
fx=3x^2-4x+6>0恒成立
fy=3y^2-4y=0得到y=0或者y=4/3
定理1（必要条件）： 设函数z = f(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数，且在点(x0,y0)处有极值，则它在该点的偏导数必然为零
fx(x0,y0) = 0，fy(x0,y0) = 0。
定理2（充分条件）： 设函数z = f(x,y)在点(x0,y0)的某领域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又fx(x0,y0) = 0，fy(x0,y0) = 0，令fxx(x0,y0) = A，fxy(x0,y0) = B，fyy(x0,y0) = C，
则f(x,y)在(x0,y0)处是否取得极值的条件如下：
（1）AC-B2>0时具有极值，且当A<0时有极大值，当A>0时有极小值；
（2）AC-B2<0时没有极值；
（3）AC-B2=0时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。
利用定理1、2，我们把具有二阶连续偏导数的函数z = f(x,y)的极值的求法叙述如下：
第一步 解方程组fx(x,y) = 0，fy(x,y) = 0，求得一切实数解，即可求得一切驻点；
第二步 对于每一个驻点(x0,y0)，求出二阶偏导数的值A、B和C；
第三步 定出AC-B2的符号，按定理2的结论判定f(x0,y0)是否是极值、是极大值还是极小值。
说明
上面介绍的极值必要条件和充分条件都是对函数在极值点可导的情形才有效的。当函数仅在区域D内的某些孤立点(xi, yi)不可导时，这些点当然不是函数的驻点，但这种点有可能是函数的极值点，要注意另行讨论。