为什么不可以用均值定理：m，n均大于0，m+2n=1，问1/m+2/n最小值？

Question

(已知mx + ny +1 =0，过点（-1，-2），已得出m+2n=1)

我的过程：
因为m+2n=1，m，n均小于0，且m,n系数=常数→积为定值
所以可用均值定理得m+2n=1 ≥ 2√2 √mn
1/m+2/n 通分=(2m+n) ÷ mn ≥ 2√2 √mn ÷ （√mn）²=8

Answer 1

均值定理中"一正，二定，三取等"三个条件都满足，才能应用，若不则要利用函数的单调性来解答。
①一正:
m，n均大于0，
②二定:
1/m+2/n=(m+2n)(1/m+2/n)
=1+4+(2m/n+2n/m)
≥5+2√(2m/n·2n/m)=5十4=9，
③取等:
当且仅当1/m+2/n=1，又m+2n=1，解得:m=-1<0，，n=1>0，不合题中m﹥0，n>0，不能取到等号。
∵m+2n=1，m>0，n﹥0，
∴m=1-2n>0，
∴0<n<1/2，
∵1/m+2/n=1/(1-2n)+2/n
=(3n-2)/(2n²-n)，
设y=(3n-2)/(2n²-2)，0<n<1/2，
∴y′=(-6n²+8n-2)/(2n²-2)²，
当y′<0时，n<1/3或n>1(舍)，
∴函数y在(0，1/3)单减，
当y′>0时，1/3<n<1/2，函数y在(1/3，1/2)单增，
∴y在n=1/3时有最小值，此时
y=1/(1-2/3)+2/(1/3)=9，
所以所求最小值为9。

所以所求最小值为:

Answer 2

这两个都不是同个式子

m+2n

2m+n

Answer 3

1/m+2/n
=(m+2n)/m+2(m+2n)/n
=1+2n/m+2m/n+4
≥1+4+2√2n/m×2m/n
=1+4+4=9
最小值是9。

Answer 4

m+2n=1
所以m=1-2n,
1/m+2/n=1/(1-2n)+2/n=(n+2-4n)/[n(1-2n)]
=(2-3n)/[n(1-2n)],记为f(n),0<n<1/2,
f'(n)=-3/[n(1-2n)]-(2-3n)(1-4n)/[n(1-2n)]^2
=-[3n-6n^2+2-11n+12n^2]/[n(1-2n)]^2
=-(6n^2-8n+2)/[n(1-2n)]^2
=-2(3n^2-4n+1)/[n(1-2n)]^2
=-6（n-1/3)(n-1)/[n(1-2n)]^2,
0<n<1/3时f'(n)<0,f(n)是减函数；
1/3<n<1/2时f'(n)>0,f(n)是增函数：
所以f(n)最小值=f(1/3)=3+6=9.

Answer 5

( 1/m+2/n)(m+2n)=1+2n/m+2m/n+4≥5+2根号下(2n/m×2m/n)=9。