量子力学系列第二篇：量子力学的基本假设，数学向。涉及泛函分析、谱理论。
一、数学概念：
算子就是线性空间到线性空间的映射。算子A的定义域记为D(A).
Hilbert空间就是完备的内积空间。以下简记为H.
H中的线性算子A是对称的，如果 .
H中的线性算子A是自伴的，如果 A 对称且 ，即 . 自伴是比对称更强的条件。
对称算子的性质：若A是对称算子，则 是实的。
自伴算子的定理：谱定理。即，自伴线性算子有唯一的分解 .该定理用于处理算子的特征向量无正交基的情况。有如下推论：
1 给出广义的正交本征向量；2 存在概率分布 使
如果线性算子A是自伴的，且定义域是Hilbert全空间，则可证得它是有界算子。如果 且稠于H，则称A是稠定的，这时他可能是无界算子。
二、量子力学公理体系：
1. 每个系统对应一个可分无穷维的复Hilbert空间H，其中一元素 完备的描述了系统的状态。
可分无穷维的H空间彼此等价。物理中我们常把H取为 或 ，因此把其中元素 称为波函数/态矢量。
2. 每个可观测量 唯一的对应于一个H中的稠定的自伴算子A。
3. 若系统的态矢量为 ，则可观测量 的观测期望值为 , 且 [ .
以一维空间单粒子为例。单粒子能在全空间的子集J被找到的概率为 . 由于在全空间被找到的概率为1，因而 。被找到的平均位置为 。不妨定义一个算子Q
于是均值可重新表述为 . 称Q为位置算符，是一个无界的自伴线性算子，定义域稠密于 .
能被实验直接测量得到的物理量称为可观测量。对于其他可观测量，也都可以引入对应的自伴稠定算子T。均值为 . 由对称算子的性质，可观测量的观测值均值为实数。
一般来说，可观测量的测量值不是确定的值。但假设3的后半句暗示了：系统处于可观测量A的本征态时，A的观测值是确定的。
同理可证，若A的本征向量有正交基 ，态矢量可分解为 ，则观测值为 的概率为
若本征向量不存在正交基怎么办？由谱定理，也可以得到可观测量的观测值分布。
4. 若一次观测后，对可观察量A的测量结果为 ，则测量之后系统的态 应满足
这条假设说明观测后态矢量会“坍缩”到观测值对应的本征态。
5. 态矢量A的时间演化方程由薛定谔方程决定。
时间演化算子 使得 .
经推导（Sakurai pg65），它满足 。
于是解得 。这称为演化算子U的薛定谔方程。
对于一初态 ，欲求的它演化后的 ，可设H的本征态和本征值，于是可求。
注1：物理书里，厄米算子是对称算子的意思，且不区分对称算子和定义更强的自伴算子。容易证明位置、动量等算符是对称的，但为了能应用谱定理，从而使本征向量完备，还需要算符是自伴的。不过当作这些算符都是自伴的就好，证明留给数学家吧
注2：量子力学的算子大多是无界算子，如位置算符、动量算符、哈密顿算符都是无界算子，所以和本科泛函分析讲的内容完美避开
参考书籍：
[1] Introductory functional analysis with applications. Erwin Kreyszig.
[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Self-adjoint_operator
[3] Modern quantum mechanics. Sakurai.