第1个回答 2022-06-15
方程有解问题的常用处理办法
方程 有解的问题实际上是求函数 零点的问题,判断方程 有几个解的问题实际上就是判断函数 有几个零点的问题,这类问题通常有以下处理办法：
一、直接法
通过因式分解或求根公式直接求方程 的根,此法一般适合于含有一元二次（三次）的整式函数,或由此组合的分式函数.
例1（2010年福建理4）函数 的零点个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
当 时,由 得 （舍去）, ；当 时,由
得 ,所以函数 的零点个数为2,故选C.
二、图象法
对于不能用因式分解或求根公式直接求解的方程 ,可以先转化为方程 ,再在同一坐标系中分别画出函数 和 的图象,两个图象交点的横坐标就是原函数的零点,有几个交点原函数就有几个零点.次法一般适合于函数解析式中既含有二次（三次）函数,又含有指数函数、对数函数或三角函数的函数类型.
例2（2008年湖北高考题）方程 的实数解的个数是
解析：在同一坐标系中分别作出函数 和
的图象,从图中可得它们有两个交点,即方程有两个实数解.
三、导数法
在考查函数零点时,需要结合函数的单调性,并且适合用求导来求的函数,常用导数法来判定有无零点.
例3（2009年天津高考题）设函数 ,则 （ ）
A. 在区间 内均有零点
B. 在区间 内均无零点
C. 在区间 内有零点,在区间 内无零点
D. 在区间 内无零点,在区间 内有零点
解析：令 ,令
所以函数 在区间 上是减函数,在区间 上是增函数,在 处取得极小值
,又 ,故选D.
四、利用零点存在性定理
利用该定理不仅要求函数 在 上是连续的曲线,且 ,还必须结合函数的图象与性质（如单调性）才能确定函数有几个零点.
例4 设 ,求函数 在区间 上有零点的概率.
,易知函数 在区间 上单调递增,若函数 在区间 上有零点,则 ,即 .所以当 时, 或 ；当 时, 或 ；当 时, 或 ；当 时, 或 ,故满足条件的事件有8个,其中基本事件有 个,故所求事件的概率为
五、分离参数法
例5（2007广东卷理20）已知 是实数,函数 如果函数 在区间 上有零点,求实数 的取值范围.
解法1： 时, ,故
在区间 上有解
在区间 上有解
在区间 上有解
问题转化为求函数 在区间 上的值域.
法一：设 ,令
随变化的情况如下表：
— 0 +
1
的值域为
其图象如图所示：
由此可知可知： ,即 或
法二：
令 则
利用对勾函数性质可得 即 ,故 或 .
解法2： 在区间 上有解 在区间 上有解
与 且 的图象有交点
由
+ + 0 — —
5
1
、 随 变化的情况如下表：
函数 的草图如下：
由图可知： 或 .
评注：利用函数处理方程解的问题,方法如下：
（1）方程 在区间 上有解
与 的图象在区间 上有交点
（2）方程 在区间 上有几个解 与 的图象在区间 上有几个交点
例6 设函数
（1）若函数 在 上存在单调递增区间,试求实数 的取值范围；
（2）求函数的极值点.
（1）函数 在 上存在单调递增区间 不等式 在 上有解
在 上有解
令 ,结合对勾函数性质知 ,所以
（2）令
于是问题转化为求一元二次方程 在 上的解!
解法一：用直接法直接求解
因为 ,所以
①当 ,即 时,方程无解,所以没有极值点；
② 当 ,即 时,对应的 ,但在 的左右两侧导数值 均大于0,所以没有极值点；
③当 时, ,但 ,
所以方程在 无解,没有极值点；
当 时, ,且 ,
其中 是极大值点, 是极小值点.
综上所述, 时,没有极值点； 时,有极大值点 ,极小值点 .
解法二：用零点存在性定理求解
方程 在 上要有解,要么有一正根,一负根；要么有两个正根,
令
①若方程有一正根,一负根,则应有 ,但事实上 ,所以矛盾!
②若方程有两个正根,则
所以,当 时方程有两个正根,即 和 为函数 的极值点；当 时,方程没有正根,所以没有极值点.
解法三：图象法
由
分别画出 和 的图象
由图可知当 时图象有两个交点,对应的方程有两个正根,
即 和 为函数 的极值
点；当 时, 的左右两侧导数值 均大于0,所以没有极值点；当 时,两图象没有交点,方程没有正根,所以没有极值点.
评注：本题第（1）问是不等式有解问题,而第（2） 问是方程有解问题,采用了三种不同的方法来处理.
例7 已知 及 ,若 ,使 成立,求实数 的取值范围.
易知 的值域为 , 的值域为
由 得 的取值范围是 或 .
例8 已知函数 ,
其中 且
（1）判断函数 的单调性；
（2）若 ,求函数 的最值；
（3）设函数 ,当 时,若对于任意的 ,总存在唯一的 ,使得 成立,试求 的取值范围.
（1）
①当 时, 在 和 上是减函数,在 上是增函数；
②当 时, 在 和 上是增函数,在 上是减函数.
（2） ,所以
由（1）知 在 上是减函数且 在 上也是减函数
所以 在 上是减函数
当 时, ；当 时,
（3） ,
由（1）知 在 上是减函数,所以 ,即
又 ,
在 上是增函数,所以 ,即
对任意 ,总存在唯一的 ,使得 成立,
,故只需 ,即 ,
为此令 ,则 在 上是增函数,
而且有 , ,所以 时,
故所求 的取值范围是 .
评注：一般地：分别定义在区间 和 上的函数 ,
若 , ,使 成立
例9（2012年南昌市一模第21题）已知函数 在 处取到极值2.
(1)求 的解析式；
(2)设函数 .若对任意的 ,总存在唯一的 ( 为自然对数的底),使得 ,求实数 的取值范围.
解: （1）
由 在 处取到极值2,故 , 即 ,
解得 ,经检验,此时 在 处取得极值.故
（2）由（1）知 ,故 在 上单调递增,在 上单调递减,
由 ,故 的值域为
依题意 ,记
（ⅰ）当 时, , 在 上单调递减,依题意由 ,得 ,
（ⅱ）当 时, ,当 时, ,当 时,
依题意得： ……………………（Ⅰ） 或 ……………………（Ⅱ）
解不等式组（Ⅰ）得 ,而不等式组（Ⅱ）无解. 所以
（ⅲ）当 时, ,此时 , 在 上单调递增,
依题意得： 即 此不等式组无解
综上,所求 取值范围为
本题的解法还可以优化为以下解法快速得
（2）
若对任意的 ,总存在唯一的 ( 为自然对数的底),使得
………………（Ⅰ） 或 ………………（Ⅱ）
不等式组（Ⅰ）无解；解不等式组（Ⅱ）得 , 故所求 取值范围是
例10 设函数
求证：对任意 ,总存在 ,满足 ,并确定这样的 的个数.
解析：由于
于是原问题转化为方程 在 内有解,并求解的个数.
方法一：令
因为 ,
（1）当 ,即 或 时,方程 在 内只有一解；
（2）当 ,即 时,方程 在 内有两解；
（3）当 时,由 得 或 ,所以方程 在 内只有一解；
（4）当 时,由 得 或 ,所以方程 在 内也只有一解.
综上所述,对任意 ,总存在 ,满足 ,且 或 时,有唯一的 适合题意；当 时,有两个 适合题意.
方法二：如图所示,分别作出函数 和
的图象,由图可知：
当 或 时,方程在 内有一解；
当 时,方程在 内有两解.