第1个回答 2022-06-23
首先是动量，在经典力学中，可以见到几个守恒定律，动量守恒，能量守恒，角动量守恒，在量子力学中自然也是有对应的表述。能量，也就是哈密顿量，在前面已经见过了，当时，还给出了守恒量的定义，也就是不含时的，与哈密顿算符对易的物理量。动量显然就是这样的量。
关于动量算符的引出，考虑动量守恒律与空间平移不变性之间的关系，也就是说，将系统任意平移，系统的动量数值是不变的。平移这个操作可以用算符来表示，考虑这样的无穷小平移算符，通过一些推导，就得到了动量算符的形式。通过与经典极限情形对比，就得到了具体的动量算符的具体形式。
要注意的是动量算符是矢量算符，具有三个分量，所以可是视为三个算符，这些分量见的对易关系其实就是二阶偏导数的对易关系，因为物理中的往往是通常情况，其各种函数一般性质都很好，就直接以光滑函数作为代表，对于光滑函数，求他的二阶混合偏导，这两个变量谁在前谁在后，是等价的，对应于算符，不就是算符的对易关系成立吗。
所以这三个算符互相对易，也就意味着可以同时测量。
然后求解动量的本征值和本征函数，这个还是和前面一样，计算本征方程 。
解的的波函数形式非常像谐波函数，也就是傅里叶积分中经常见到的的那些函数，什么时域频域，信号的频域分解等等。区别在于这里的函数是坐标和动量之间的转化关系，从动量表象，转换到坐标表象，空间有三个独立方向，所以是三维的傅里叶变换。信号分析和处理中仅仅是一维的傅里叶变换。本质上也没什么区别，独立自然可以分离，即便在多几个变量不过是一些乘积罢了。
所以在动量表象中，如果学过傅里叶变换，那就派上了用场，任意坐标表示的波函数，用动量表示，就是求他的傅里叶系数，这样，现在的知识就和之前学过的产生了联系。这不是很好嘛，通过典型的傅里叶积分的理论，这就拓展到了广义傅里叶积分，正交函数组从只知道谐波函数，到其他的常用正交函数组，比如，勒让德多项式，切比雪夫多项式，球谐函数。这就由引伸到了特殊函数理论，这可以作为一个起点，开始去补充各种知识，最终拿下。我之前学习量子力学的时候就是这样子，发现许多基础的东西还不清楚，那么强行去看，自然也不会有多大的益处。
好了，然后是坐标算符，之前在坐标表象中，这个算符就是一个常数，但现在我们是在动量表象中去求坐标算符，自然就不一样，最后得到的是与动量对偶的形式。
这是很神奇的景象，不过也是自然的结果。与后面不确定度关系联系紧密。
不确定度关系，是为了说明一个粒子，不可能同时确定其位置及其动量，这其实就是说一个粒子没有确定的位置和速度，因为假如这是确定的，根据经典力学，我们就一定能求出其轨道，这与量子力学的基本要求，粒子没有轨道是根本矛盾的。所以，这个关系不过是这一条要求的具体化。坐标和动量是最为明显的例子，存在一个具体的界限 ，他们的取值范围的乘积不能比这个界限小，换做其他的物理量，也能推出类似的关系。具体的推导还是比较繁琐的。感觉都是一些制约关系，粒子的轨道有许多种手段来求，涉及的物理量也有很多种，但是每一种都必定会面临这样的限制，使其轨道求不出来。很有趣，这是规律和手段的制衡，虽然手段尽出，就是过不去规律这道坎。
就到这里了，第二章完毕，学的还挺快的。我感觉难的就是基础概念，算符的运算，波函数分解，函数组的切换。后面估计就是一些推导，虽然会出现一些特殊函数，特殊积分，但是基本原理应该就是这些了。这本书感觉也是比较合适的，有的教材，真是讲不透，一直都在列公式，却说不出个所以然。我感觉还是从数学入手比较好，初步涉猎了泛函分析后，再学，物理上想不明白的东西，通过数学上的正确性来保障他的成立。最终要将数学理论给对应上去，相互印证。一个提供图像，一个保证正确。这也只能考虑网络了，课堂教育一言难尽啊。