三角形两边的中点连成的线段，平行与第三边，且等于第三边的一半

Question

如题所述

Answer 1

证明
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如图，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。
求证DE平行于BC且等于BC/2
方法一：过C作AB的平行线交DE的延长线于G点。
∵CG∥AD
∴∠A=∠ACG
∵∠AED=∠CEG、AE=CE、∠A=∠ACG（用大括号）
∴△ADE≌△CGE
（A.S.A)
∴AD=CG(全等三角形对应边相等)
∵D为AB中点
∴AD=BD
∴BD=CG
又∵BD∥CG
∴BCGD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
∴DG∥BC且DG=BC
∴DE=DG/2=BC/2
∴三角形的中位线定理成立.

Answer 2

已知△abc中，d，e分别是ab，ac两边中点。求证de平行且等于bc/2
　　
法一：过c作ab的平行线交de的延长线于f点。
　　
∵cf∥ad
　　
∴∠a=∠acf
　　
∵ae=ce、∠aed=∠cef
　　
∴△ade≌△cfe
　　
∴ad=cf
　　
∵d为ab中点
　　
∴ad=bd
　　
∴bd=cf
　　
∴bcfd是平行四边形
　　
∴df∥bc且df=bc
　　
∴de=bc/2
　　
∴三角形的中位线定理成立.
法二：利用相似证
　　
∵d，e分别是ab，ac两边中点
　　
∴ad=ab/2
ae=ac/2
　　
∴ad/ae=ab/ac
　　
又∵∠a=∠a
　　
∴△ade∽△abc
　　
∴de/bc=ad/ab=1/2
　　
∴∠ade=∠abc
　　
∴df∥bc且de=bc/2