高中数列递推问题?

如题所述

有没有听过特征方程?很多数列递推式都可以用递推构造等差或等比数列,这也是数列递推式求通项的基本方式!
我先解这道题吧,关键是左右两边都减1,然后倒过来。这个减一也是有迹可循的——特征方程!
解:(说明:我用a【n】表示,避免混乱)
由a【n+1】=1/(2-a【n】)
得a【n+1】-1=1/(2-a【n】)-1
即a【n+1】-1=(a【n】-1)/(2-a【n】)
所以1/(a【n+1】-1)=(2-a【n】)/(a【n】-1)
即1/(a【n+1】-1)=-1+1/(a【n】-1)
所以{1/(a【n】-1)}是以1/(a【1】-1)为首项,-1为公差的等差数列
所以1/(a【n】-1)=1/(a【1】-1)-(n-1)
所以a【n】=[a【1】-(n-1)(a【1】-1)]/[1-(n-1)(a【1】-1)]
好像很神奇,这步-1,其实是由特征根得到的:把a【n】和a【n+1】换为x得到特征方程:x=1/(2-x)一元二次方程,得到解(如这道x=1)左右两边都减去得到的解,倒数,然后可以化为类似上面化出的关于a【n】加系数的递推公式,可能是等差,也可能是等比,构造好后,求出构造的数列的通项,再化出a【n】。
一般特征方程是一个解就化出等差,两个解就是等比(两解任选),不过也可都选两式再相除得等比数列。以上是倒数型的解法。叫特征方程或不动点法
要不我出一道给你练练:a【n+1】=2/(a【n】-1)追问

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