如图,已知抛物线y=-x 2 +bx+c与一直线相交于A(-1,0),C(2,3)两点,与y轴交于点N.其顶点为D.(1)抛物线及直线AC的函数关系式;(2)设点M(3,m),求使MN+MD的值最小时m的值;(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B,E为直线AC上的任意一点,过点E作EF ∥ BD交抛物线于点F,以B,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求点E的坐标;若不能,请说明理由;(4)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值.
(1)由抛物线y=-x 2 +bx+c过点A(-1,0)及C(2,3)得,
解得
故抛物线为y=-x 2 +2x+3 又设直线为y=kx+n过点A(-1,0)及C(2,3)得
解得
故直线AC为y=x+1; (2)如图1,作N点关于直线x=3的对称点N′,则N′(6,3),由(1)得D(1,4), 故直线DN′的函数关系式为y=-
当M(3,m)在直线DN′上时,MN+MD的值最小, 则m=-
(3)由(1)、(2)得D(1,4),B(1,2), ∵点E在直线AC上, 设E(x,x+1), ①如图2,当点E在线段AC上时,点F在点E上方, 则F(x,x+3), ∵F在抛物线上, ∴x+3=-x 2 +2x+3, 解得,x=0或x=1(舍去) ∴E(0,1); ②当点E在线段AC(或CA)延长线上时,点F在点E下方, 则F(x,x-1) 由F在抛物线上 ∴x-1=-x 2 +2x+3 解得x=
∴E(
综上,满足条件的点E的坐标为(0,1)、(
(4)方法一:如图3,过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q,交x轴于点H;过点C作CG⊥x轴于点G,设Q(x,x+1),则P(x,-x 2 +2x+3) ∴PQ=(-x 2 +2x+3)-(x+1) =-x 2 +x+2 又∵S △APC =S △APQ+ S △CPQ =
=
=-
∴面积的最大值为
方法二:过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q,交x轴于点H;过点C作CG⊥x轴于点G,如图3, 设Q(x,x+1),则P(x,-x 2 +2x+3) 又∵S △APC =S △APH +S 直角梯形PHGC -S △AGC = |