任给正整数n,总有正整数m使得m+ 1,……,m+ n都不是素数

Question

如题所述

Answer 1

先说一下，n!＝1×2×3×4×……×n
同时，由a＝bp＋cp＝(b+c)p可知，p的倍数的和仍然是p的倍数。
再有，由素数定义可知，证明一个数不为素数，只需证明它可以等于某个整数的整数倍，且不止1倍即可。

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任取n∈Z＋，令m＝(n＋1)!＋1，易于证明，m∈Z＋

注意到，(n＋1)!是1、2、3、4、5、……、n、(n+1)的倍数。
那么，
m＋1＝(n＋1)!+2，此时，m+1是2的倍数，且不止2的一倍，因而它不是素数；
m＋2＝(n＋1)!+3，此时，m+2是3的倍数，且不止3的一倍，因而它不是素数；
m＋3＝(n＋1)!+4，此时，m+3是4的倍数，且不止4的一倍，因而它不是素数；
m＋4＝(n＋1)!+5，此时，m+4是5的倍数，且不止5的一倍，因而它不是素数；
……
m＋n＝(n＋1)!+(n+1)，此时，m+n是(n+1)的倍数，且不止(n+1)的一倍，因而它不是素数。
以上。
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