上海立信会计学院 2010～2011学年第一学期
09级本科 《线性代数》试题（B）
（本场考试属闭卷考试，禁止使用计算器，考试时间120分钟） 共3页
答案请务必写在答题纸上！
一．单项选择题（每小题2分，共20分）
1．设方阵的行列式，则（ ）。（A） （B） （C） （D）都不对
2．设，则（ ）。
（A）－4 （B）－2（C）2 （D）4
3．设行列式，，则＝（ ）
（A） （B） （C） （D）
4．设为3阶方阵，且已知，则＝（ ）
（A） （B） （C） （D）
5．设矩阵，，为同阶方阵，则＝（ ）
（A） （B） （C） （D）
6．设为2阶可逆矩阵，且已知，则＝（ ）
（A） （B） （C） （D）
7．设是阶矩阵，的充要条件是（ ）
（A）的任一阶子式都不等于0 （B）的任一＋1阶子式都等于0
（C）的任意个列向量线性无关
（D）的任意＋1个列向量线性相关，而有个列向量线性无关
8．设，，均为阶方阵且则（ ）
（A）3 （B）2 （C） （D）
9．设齐次线性方程组的一个基础解系是，则此方程组的另一个基础解系是（ ）
（A） （B）
（C）与等价的向量组
（D）与等秩的向量组
10．设为阶方阵，以下结论中（ ）成立。
（A）与有相同的特征向量。 （B）的特征向量即为方程的全部解。 （C）的特征向量的线性组合仍为其特征向量。 （D）若可逆，则矩阵的属于特征值的特征向量也是矩阵的属于特征值的特征向量。
二．填空题（每小题2分，共10分）
1．设为5阶方阵，且，为的伴随矩阵，则 。
2．若向量组，，线性相关，则＝ 。
3．设3阶矩阵，则 。
4．设齐次线性方程组为，则它的基础解系中所含向量的个数为 。
5．设为阶可逆矩阵，已知有一个特征值为2，则必有一个特征值为 。
三．是非题（每题2分，共10分）
1．用初等矩阵右乘矩阵，相当于对施行一次行初等变换。（ ）
2．设均为齐次线性方程组的解，则也是的解。（ ）
3．若方阵可逆，则的伴随矩阵也可逆。（ ）
4．向量组的秩是指向量组的不同的极大无关组的个数。（ ）
5．如果，则向量组可由线性表示。（ ）
四．证明题（10分）
1．设是阶方阵，且，证明：可逆。
2．设是阶矩阵的秩（），是其伴随矩阵的秩，请给出与之间的关系并证明之。
五．综合题（每题10分，共50分）
1．计算行列式的值。
2．求向量组，，，的秩，判别其线性相关性，并求一个极大线性无关组。
3．设，已知0是的一个特征值，试求的所有特征值与对应的特征向量。
4．解矩阵方程。
5．求线性方程组的通解。
2010－2011第一学期本科线代（B）答案
一．单项选择题（每小题2分，共20分） CDCBA ADACD1．设A为n阶方阵，A经过若干次初等变换后得到矩阵B，则（ C ）（A）必有 （B）必有 （C）若则必有（D）若则必有2．设，则（ D ）（A）－4m （B）－2m （C）2m （D）4m3．设行列式＝1，＝2，则＝（ C ）（A） （B） （C） （D）4．设为3阶方阵，且已知，则＝（ B ）（A） （B） （C） （D）5．设矩阵，，为同阶方阵，则＝（ A ）（A） （B） （C） （D）6．设为2阶可逆矩阵，且已知，则＝（ A ）（A） （B） （C） （D）7．设是阶矩阵，的充要条件是（D）（A）的任一阶子式都不等于0；（B）的任一阶子式都等于0；（C）的任意个列向量线性无关；（D）的任意个列向量线性相关，而有个列向量线性无关。8．设，，均为阶方阵且，则（ A ）（A）3E （B）2E （C） E（D）O9．设齐次线性方程组的一个基础解系是，则此方程组的另一个基础解系是（C）（A）（B）（C）与等价的向量组（D）与等秩的向量组10．设为阶方阵，以下结论中（ D ）成立。（A）与有相同的特征向量。（B）的特征向量即为方程的全部解。（C）的特征向量的线性组合仍为其特征向量。（D）若可逆，则矩阵的属于特征值的特征向量也是矩阵的属于特征值的特征向量。二．填空题（每小题2分，共10分）1．设为4阶方阵，且，为的伴随矩阵，则＿。162．若向量组，，线性相关，则＝ 。53．设3阶矩阵，则 。4．设齐次线性方程组为，则它的基础解系中所含向量的个数为 。25．设为阶可逆矩阵，已知有一个特征值为2，则必有一个特征值为 。三．是非题（每小题2分，共10分） TTTFF1．用初等矩阵左乘矩阵，相当于对施行一次行初等变换。 √2．设均为齐次线性方程组的解，则也是的解。 √3．若方阵可逆，则的伴随矩阵也可逆。 √4．向量组的秩是指向量组的不同的极大无关组的个数。 ×5．如果，则向量组可由线性表示。 ×四．证明题（10分）1．设是阶方阵，且，证明：可逆。证：可逆2．设是阶矩阵的秩（），是其伴随矩阵的秩，请给出与之间的关系并证明之。证：（1）当时，；（2）当时，，的列向量是方程组（）的解，故均为零向量或成比例（），且中至少有一个不为零，所以此时的秩为；（3）当时，（），故。五．综合题（每题10分，共50分）1．＝802．求向量组，，，的秩，判别其线性相关性，并求一个极大线性无关组。解：向量组线性相关，（或或）为向量组的一个极大无关组。3．设，已知0是的一个特征值，试求特征值与对应的特征向量。解：0是的一个特征值，故又所以从而的特征值为对应的全部特征向量为，（为任意非零数）；对应的全部特征向量为（，是不全为零的数）．4．解矩阵方程。解：5．求线性方程组的通解。解：，（为任意常数）
追问不完整啊，怎么回事