已知函数的定义域为{1,2,3},值域为集合{1,2,3,4,5}的非空真子集,设点A(1,f(1))点B(2,f(2))点C(3,f(3))

Question

△ABC的外接圆圆心为M，且向量MA+向量MC=λ向量MB，则满足条件的函数f(x)有＿＿个．
怎么做啊。
还有这一道
方程lg(x-100)^2=7/2-(lxl-200)(lxl-202)的解的个数为
谢谢

Answer 1

第一题:

首先, 我们知道三角形的外心M 在 AC 的垂直平分线上
MA + MC 的方向也在 AC 的垂直平分线上
λ*MB = MA + MC
因此要求 MB 在 AC 的垂直平分线上, 即 B 在 AC 的垂直平分线上
显然 AC 的中点 H 满足 xH = 2, 只有 yA = yC 才能满足 BH 垂直于 AC

且 ABC 构成三角形，即 A, B, C 不在同一直线上，因此 yB 不等于 yA
即：f(1) = f(3) != f(2)

{f(1), f(2), f(3)} 共有 f(1) = f(3) ∈ {1, 2, 3, 4, 5} 同时 f(2) ∈ {1, 2, 3, 4, 5} 且 f(2) != f(10
共有 5 * 4 = 20 种

第二题：
方程左边到底是 lg [(x-100)^2] 还是 [lg (x-100)]^2 呢？
如果是后者，x >100, 方程变成
lg(x-100) * lg(x-100) = 7/2 - (x-200)(x-202)
当 200 <=x <= 202 ，方程右边才大于等于 7/2, 同时小于等于 9/2
而在此区间，方程左面显然大于 4 小于 9/2, 因此有 2 个解

如果方程左面是前者，需要讨论 x < 0 的情况，貌似 x<0, [-200, -202] 区间方程左边明显高于 9/2，[200, 202] 区间还是大于 4 小于 9/2, 因此大概也是两个解