求证：从一开始的n个连续自然数的立方和等于它们的和的平方。

Question

如题所述

Answer 1

对于任意整数i，有
（1+2+3+......+i)²
=
(
(1+2+3+......+(i-1))
+
i
)²
=
(1+2+3+......+(i-1))²
+
2i(1+2+3+......+(i-1))
+
i²
因为前n项和公式1+2+3+......+n=n（1+n)/2，代人，继续整理
=
(1+2+3+......+(i-1))²
+
2
i
(
i(i-1)/2
)
+
i²
=
(1+2+3+......+(i-1))²
+
i
³
所以
（1+2+3+......+i)²
-
(1+2+3+......+(i-1))²
=
i
³
对i依次取1到n，列出各个等式，
1²
-
0²
=1
³
（1+2)²
-
(1)²
=
2
³
（1+2+3)²
-
(1+2)²
=
3
³
...
...
...
...
（1+2+3+......+n)²
-
(1+2+3+......+(n-1))²
=
n
³
各个等式左右两边同时相加，相同项消去，得
（1+2+3+......+n)²
-
0²
=
1³+2³+3³+......+n³
即
（1+2+3+......+n)²
=
1³+2³+3³+......+n³