数学主要研究的对象是 函数、运算。
在这之前，我们关注的空间基本上是函数空间 或数列 组成的空间，并建立了距离空间、赋范空间、内积空间、Hilbert空间的概念。
运用了 类比、联想、归纳 等数学研究方法，把有限维空间的代数结构和几何特征延伸、拓展到 无穷维空间 。
许多数学问题，如：中学解析几何中的 平移和旋转就是一些线性变换（运算） 。
高等数学研究的 微分、积分也都是线性运算 ，它们与 空间中的线性变换（向量的旋转、拉伸、平移等）有很多相同的运算性质。
线性方程组、微分方程、积分方程都可以看作是特定空间中的线性运算（或者称为线性变换或线性映射） 。
我们把这些称之为 线性算子 ，线性算子是泛函分析中最重要的基本概念之一。我们将 全体有界线性算子（如积分、矩阵等）看作一个线性空间，并赋予范数 ，成为赋范线性空间，线性算子看作赋范空间中的元素。
线性算子空间是线性泛函分析研究的主要对象。 在线性算子空间的框架下，研究线性运算的性质，解决分析、代数、几何中的问题。
在赋范空间中讨论有界线性算子的本质特征，可以得到一些很深刻的结论：
满足性质 的运算 称为 线性算子。 因此微分运算、积分运算都是线性算子。
定义1： 设 ， 是赋范空间， 是线性子空间， 是从 到 的映射，满足：
其中， （ 是数域），则称映射 是从 到 的 线性算子。 称为 的 定义域 。
注1： 一般地， 是 的真子集，如果 ，则称 是从 上 到 的线性算子。
注2： 若 （数）， 。这样的线性算子称为是 线性泛函。
即线性泛函 （或 ）是从赋范空间 到数域 的线性算子。
注3： 从信号与系统的角度， 空间其实就是 系统的输入空间 （输入信号）， 空间就是 系统的输出空间 （输出信号）或者变换（作用）后的空间；线性算子就是一个线性系统。
定义2： 设 是从 到 的线性算子，若存在常数 ，使得
则称 为 有界线性算子。
如果一个线性泛函 是有界的，如果存在常数 ，使得
则称 为 有界线性泛函。 因为泛函映成一个数，所以一个数的范数用绝对值表示。
注1： 有界线性算子的有界是指映射后 “放大的倍数” 不超过一个常数。（元素的大小用范数衡量）
注2： 由于内积可以产生范数，内积空间也是赋范空间，因此，有关赋范空间上的有界线性算子、有界线性泛函的讨论在内积空间依然成立。
注3： 有界线性算子把有界集映成有界集（有界输入，有界输出）。
定义4： 设 ， 是赋范空间， 是从 到 的线性算子，若 时， ，则称 在 点连续。
定理5： 设 ， 是赋范空间， 是从 到 的线性算子， 。 如果 在 点连续，则 在 上连续。
注1： 对于线性算子来说， 一点连续意味着点点连续。
注2： 线性算子 连续意味着：
极限运算和线性算子 作用可以交换顺序。
定理6： 设 ， 是赋范空间， 是从 到 的线性算子，则 是连续的当且仅当 是有界的。
下面我们把有界线性算子看作一个元素，构成一个新的线性空间，即由全体有界线性算子（如积分运算、矩阵运算）构成的空间。
从赋范空间的角度研究线性算子的性质。
定义7： 设 ， 是赋范空间， 表示从 到 的全体有界线性算子。
如果 ，我们把 简记为 。
在 中可以自然地 定义线性运算（加法、数乘）， 对于任给的 及 ，定义：
由于 对加法、数乘运算封闭，因此成为 线性空间。
下面我们把有界线性算子看成空间中的元素，在空间中定义 有界线性算子的范数
定义8： 设 是从赋范空间 到 的有界线性算子，即存在 ，使得
令
称为 线性算子 的范数。
定理10： 设 是从赋范空间 到 的有界线性算子，则:
特别地，当 ，还可以定义 乘法运算 （记为 ）：
显然 也是线性算子，并且：
进一步有：
定理11： 设 。对于任意的 ，定义：
则 是 上的 有界线性泛函。
注： 上的 任何有界线性泛函 一定可以写成上述形式， ，即 上的有界线性泛函 可以由 中的元素 确定。
下面给出无穷维空间上的有界线性泛函
定理12： 设 是 上的连续函数，对于任意的 ，定义：
则 是 上的 有界线性泛函。
注1： 可以证明线性泛函的范数 。
注2： 特别地，若 ，定积分 是 上的 有界线性泛函。
注3： 不是所有的线性算子都是有界的，例如十分重要的 微分算子就是一类无界算子。 如，对 求微分，我们有：
但是， ，即 是无界的。
注： 微分算子是一类十分重要的无界线性算子。微分算子虽然无界，但它是 闭的 线性算子。闭的线性算子也有 “类似连续” 的很好的性质。
由算子的范数 可以诱导出算子的距离：
因此， 也是一个距离空间（在空间中定义了元素距离结构），有了距离可以讨论空间中 元素列的收敛性 ，接着就可以讨论空间完备性。
显然在 中可以讨论 算子列按范数的收敛性 。
定义1： 设 ，若
则称有界线性算子列 按范数收敛 到有界线性算子 。
定理2： 空间 中线性算子列 按范数收敛 等价于线性算子列在 中的单位球面 上 一致收敛 （收敛速度与 取值无关， ）。
一致收敛直观解释， ，使 最大的 点都收敛了，那么其它的点必然收敛，这是由算子范数定义决定的，算子范数取的是对 所放大的最大的倍数（算子 对不同 取值放大倍数不同）。
进一步，算子列 按范数收敛等价于在有界集上一致收敛。
线性算子在空间 中，除了按范数收敛（或称一致收敛），还可以定义其它收敛方式。
定义3： 设 。如果对于 ，即
则称 逐点收敛到 （不同 收敛速度可能不同），或称 强收敛到 。
注： 按范数收敛到 （一致收敛）可推出 强收敛到 ，反之不成立。
有界线性算子组成的空间是一个 赋范空间 ，于是可以讨论它的完备性。
一个赋范空间是完备的（ 空间）当且仅当空间中的 列一定收敛。
定理5： 设 是赋范空间， 是 空间，则有界线性算子空间 是 空间（完备的赋范空间）。
我们把线性算子抽象成线性算子空间中的元素。抽象的目的是为了使我们能更清楚地看到线性算子的一些本质特征。
在线性算子空间的框架下，研究线性运算的性质，将得到一些深刻的结论，例如： 一致有界原则，开映像定理，逆算子定理，闭图像定理。这三个定理和 定理（线性泛函的延拓定理） 可以看作是赋范空间中线性算子理论的基石。
这三个定理刻画了 空间中线性算子的重要性质。
定义1： 设 是距离空间， 。如果 不在 的任何非空开集中稠密，则称 是疏集。
稠密的定义： 是距离空间 中的点集，如果 ，则称 在 中稠密。
注： 疏集 中没有内点。事实上，若 是内点，则存在一个开球 ，那么 在开球 中稠密。
定义2： 若集合 可表示成至多可数个疏集的并，即
其中， 是疏集 ，则称 是 第一纲集。 不是第一纲集的集合称为 第二纲集。
定理3（ 纲定理）： 完备的距离空间是第二纲集。
推论： 空间是第二纲集。
对于有界线性算子，可以得到：一族点点有界的有界线性算子必定一致有界。
定理7（ 一致有界原则）：
设 是 空间 上 到赋范空间 中的有界线性算子族。如果对于 ，有
则 是 有界集。 其中 属于一个指标集。
注1： “一致”指的就是对所有的 都成立。
注2： 定理表明，若对任意的 ，存在 ，使得
则存在一个共同的 ，使得
该定理的逆否命题： 如果 是 空间 上 到赋范空间 中的有界线性算子族， ，则存在 ，使得
该命题称为 共鸣定理。
由上节 定理5 可知，如果 是赋范空间， 是 空间，则有界线性算子空间 是 空间。即空间中任何 列都按算子的范数收敛（即当 ，算子范数 ）。
下面考虑在强收敛意义下的完备性即空间中任何 列逐点收敛。
定理12： 设 是 空间，则 在强收敛意义下完备。
注： 完备的含义：
注： 就是第 次迭代后算子（模型）的输出。 。
若对任给的 （ 表示映射 的值域），只有 唯一的 ，使得 ，则称映射 是 单射 。这时可定义从值域 到 的算子 ，并称 为 的 逆算子 。
定义1（逆算子）： 设 是从线性空间 到线性空间 中的线性算子。如果存在 到 中的线性算子 ，使得
则称算子 有逆算子， 为 的逆算子，记为 。
注1： 存在逆算子的 充要条件 是： 是空间 中到空间 中的一对一映射。
注2： 如果 存在，则 是唯一的。
注3： 可以证明 也是 线性算子。
注4： 。
定理2： 设 是从赋范空间 到赋范空间 中的线性算子。如果存在 ，使得
则 存在有界的逆算子 。
注1： 是从 到 的映射， 不一定是全空间 ， 也不一定是全空间 。
注2： 这里并未要求 有界，只要求 下方有界即可。
定义3： 设 是 的一个映射，若 把 中的任何一个开集映成 中的开集，则称 是 开映射。
定理4（开映射定理）： 设 是定义在 空间 上到 空间