设数列{a n }的前n项和为S n ，已知a 1 =1， （n=1，2，3，…），证明：(1)数列 是等比数列； (2)S n+1

Question

设数列{a n }的前n项和为S n ，已知a 1 =1， （n=1，2，3，…），证明：(1)数列 是等比数列； (2)S n+1 =4a n ．

Answer 1

证明：（1）∵ ， ∴(n+2)S n =n(S n+1 -S n )， 整理，得nS n+1 =2(n+1)S n ， ∴ ， 故 是以1为首项，2为公比的等比数列． （2）由（1）知 ， 于是 ， 又a 2 =3S 1 =3， 故S 2 =a 1 +a 2 =4=4a 1 ， 因此，对于任意的正整数n≥1，都有S n+1 =4a n 。