大学数学问题 G是n阶有限群，对n的任意因子m，G中m阶子群至多有一个。证明G是循环群

Question

如题所述

Answer 1

对n归纳，设对k＜n,命题成立。
看n阶G具题设条件，设m为G之真子群最大阶，此唯一子群为H,从归纳，H＝＜a＞,|a|＝m
设b不在H,|b|＝t＞1，（m.t）＝d,﹤a﹥,﹤b﹥都有d阶子群，∴d＝1，又m最大，
∴mt＝n，＜bab^-1＞＝H, bab^-1＝a^r （m,r）=1 ,∴G＝＜ab＞为循环群