第1个回答 2022-11-03
不好意思图片没能传上去,你可以点下面这个网址下载这个word文件自己看吧
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法向量在立体几何中的应用
向量在数学和物理学中的应用很广泛,在解析几何与立体几何里的应用更为直接,用向量的方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题.将向量引入中学数学后,既丰富了中学数学内容,拓宽了中学生的视野；也为我们解决数学问题带来了一套全新的思想方法——向量法.下面就向量中的一种特殊向量——法向量,结合近几年的高考题,谈谈其在立体几何有关问题中的应用.
1 法向量的定义
1.1 定义1 如果一个非零向量 与平面 垂直,则称向量 为平面 的法向量.
1.2 定义2 任意一个三元一次方程： ,
都表示空间直角坐标系内的一个平面,其中 为其一个法向量.
事实上,设点 是平面 上的一个定点, 是平面 的法向量,设点 是平面 上任一点,则总有 .
∴ , 故 ,
即 ,
∴ ,……①
设 ,
则 ① 式可化为 ,即为点P的轨迹方程.
从而,任意一个三元一次方程： ,
都表示一个平面的方程,其法向量为 .
2 法向量在立体几何中的应用
2.1 利用法向量可处理线面角问题
设 为直线 与平面 所成的角, 为直线 的方向向量 与平面 的法向量 之
间的夹角,则有 （图1）或 （图2）
图1 图2
特别地 时, , ； 时, , 或
例1（2003年, 新课程 、江苏 、辽宁卷高考题）
如图3,在直三棱柱 中,底面是等腰直角三角形, ,侧棱 ,D,E分别是 与 的中点,点E在平面ABD
上的射影是 的重心G.求 与平面ABD所成角的大小.
（结果用反三角函数表示）
解 以C为坐标原点,CA所在直线为 轴,CB所在直线为
轴, 所在直线为 轴,建立直角坐标系,
设 , 图3
则 , , ,
∴ , , , ,
∵ 点E在平面ABD上的射影是 的重心G,
∴ 平面ABD, ∴ ,解得 .
∴ , ,
∵ 平面ABD, ∴ 为平面ABD的一个法向量.
由
得 ,
∴ 与平面ABD所成的角为 ,即 .
评析 因规定直线与平面所成角 ,两向量所成角 ,所以用此法向量求出的线面角应满足 .
2.2 利用法向量可处理二面角问题
设 分别为平面 的法向量,二面角 的大小为 ,向量
的夹角为 ,则有 （图4）或 （图5）
图4 图5
例2 （2003年,北京卷高考题）
如图6,正三棱柱 的底面边长为3,侧棱 ,
D是CB延长线上一点,且 .
求二面角 的大小.（略去了该题的①,③问）
解 取BC的中点O,连AO.
由题意 平面 平面 , ,
∴ 平面 ,
以O为原点,建立如图6所示空间直角坐标系, 图6
则 , , , ,
∴ , , ,
由题意 平面ABD, ∴ 为平面ABD的法向量.
设 平面 的法向量为 ,
则 , ∴ , ∴ ,
即 . ∴ 不妨设 ,
由 ,
得 . 故所求二面角 的大小为 .
评析 （1）用法向量的方法处理二面角的问题时,将传统求二面角问题时的三步曲：“找——证——求”直接简化成了一步曲：“计算”,这表面似乎谈化了学生的空间想象能力,但实质不然,向量法对学生的空间想象能力要求更高,也更加注重对学生创新能力的培养,体现了教育改革的精神.
（2）此法在处理二面角问题时,可能会遇到二面角的具体大小问题,如本题中若取 时,会算得 ,从而所求二面角为 ,但依题意只为 .因为二面角的大小有时为锐角、直角,有时也为钝角.所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小,然后根据计算取“相等角”或取“补角”.
例3（2002年,上海春季高考题）
如图7,三棱柱 ,平面 平面 ,
, ,且 ,
求二面角 的大小.（略去了该题的②问） 图7
解 以O点为原点,分别以OA,OB所在直线为 轴, 轴,过O点且与平面AOB垂直的直线为 轴,建立直角坐标系（如图7所示）,
则 , , , ,
∵ 平面AOB, ∴ 不妨设平面AOB的法向量为 ,
设 平面 在此坐标系内的方程为： ,
由点A,B, 均在此平面内,得
解得 , , ,
∴ 平面 的方程为： ,
从而平面 的法向量为 ,
∴ , ∴ ,
即 二面角 的大小为 ,
评析 在求平面的法向量时,也可用此法先求得在空间直角坐标系中该平面的方程,从而直接得到其法向量.
2.3 可利用法向量处理点面距离问题
设 为平面 的法向量,A,B分别为平面 内,外的点,则点B到平面 的距离 （如图8）.
略证：
图8
例4 （2003年,全国高考题）
如图9,已知正四棱柱 ,点E为 中点,
点F为 中点.求点 到平面BDE的距离.（略去了该题的①问）
解 以D为原点,建立如图9所示的直角坐标系,
则 , , , ,
∴ , , ,
设 平面BDE的法向量为 ,
则 , , 图9
∴ , ∴ , 即 ,
∴ 不妨设 ,则点 到平面BDE的距离为
, 即为所求.
例5 （2003年,北京春季高考题）
如图10,正四棱柱 中,底面边长为 ,侧棱长为4,
E,F分别为棱AB,CD的中点, .
求三棱锥 的体积V.（略去了该题的①②问）
解 以D为坐标原点,建立如图10所示的直角坐标系,
则 , ,
, ,
∴ , ,
, 图10
∴ ,
∴ ,
所以 ,
设 平面 的方程为： ,将点 代入得
, ∴ ,
∴ 平面 的方程为： ,其法向量为
, ∴点 到平面 的距离 ,
∴ 即为所求.
评析 （1）在求点到平面的距离时,有时也可直接利用点到平面的距离公式 计算得到.
（2） 法向量在距离方面除应用于点到平面的距离、多面体的体积外,还能处理异面直线间的距离,线面间的距离,以及平行平面间的距离等.
法向量作为向量家族中的一个特殊成员,在立体几何的问题解决中越来越显示出它的优越性和灵活性,也越来越广泛地被广大师生所青睐和重视.