第1个回答 2022-06-12
定义：设R和 是两个环, 是 到 的一个映射,若 ,有
1.
2.
则称 为同态映射
注：等式左边的加法和乘法是R中的运算,灯饰右边的加法和乘法是 中的运算
若 到 的同态映射 是一个满射,则称 是 到 的满同态
若 到 的同态映射 是单射,则称 是 到 的单同态,或称 为一个嵌入
此时称R同构嵌入到 中
若 同构嵌入到 中,就把R看作 的一部分
若 到 的同态映射 既是满射又是单射,则称 是 到 的一个同构映射
若存在一个从 到 的同构映射,则称R与 是同构的,记作
可将同构的环当作同一个环
注：设 是环 到 的一个同态映射,则 是加群 到加群 的一个同态映射
,有
又 可保持 和 的乘法运算,故
例：
1.令 , ,则 是一个从整数环Z到同余类环 的一个满射,且 ,有
故
2.设A是任一环, 是A的子环, ,令 ,则 是B到A的一个单同态映射
3.设 为实数域R上的多项式环, , ,由带余除法, ,使 ,其中 为 的常数项
,故
令 ,则 为一个双射,且
即 是R到 的同构映射,
定理：设 和 是两个含幺环,设 是环同态映射,则
1.若 是满射,则 ,且对R中任意可逆元u, 是 的可逆元,
2.若 是一个除环,且 ,则
3.若 是一个整环,且 ,则
证明：
定理：设 是环R到环 的满同态映射,则
1.若S是R的子环,则 也是 的子环
2.若 是 的理想,则 也是 的理想
3.若 是 的子环,则 的逆像 也是 的子环
4.若 是 的理想,则 的逆像 也是 的理想
注：
1.定理表明环的同态满射保持子环和理想的性质不变,即子环和理想的同态仍是子环和理想,而子环和理想的原像也是子环和理想
2.满射条件在定理2和4中不可少
例：设 是整数环Z到实数环R的映射, ,则 是同态映射,Z是Z的理想,但 不是R的理想
定理：设I是环R的理想, 是R关于I的商环,则R与 同态
证明：
注：上述同态映射称为R到 的自然同态(典范同态)
定理：假定R和 是两个环, 是 到 的满同态映射,则同态 的核 是R的理想,且
证明：
注：
1.R的任一同态像在同构的意义下都是R的一个商环
2.理想在环中的地位与正规子群在群中的地位是平行的
例：
1.设 ,其中的加法和乘法定义为： , ,则 关于加法和乘法作成一个环
设 ,则 是一个满同态映射,同态的核
由同态基本定理,
2.设 是环R到 的满同态, 是 的一个理想,I为 的原像,即 ,则
设 为 到 的自然同态,则 ,
是 到 的满同态,由于
即 ,由同态基本定理,
定理：设 和 为环R的理想,则 , 也是R的理想,且
证明：
定义：设M是环R的理想, ,若对环R的任意理想I, ,且 ,总有 ,则称M是R的极大理想
例：R为整数环,设p为素数,则 为极大理想
,故 ,又若 是Z中的理想, ,则 ,故 ,则 使
由 , ,由 , ,故 ,因而
显然 ,因而I=Z,故 为Z的极大理想
注：设p为素数, 为Z的极大理想, 是域,这个结论可推广到一般的含幺交换环上
定理：设R是含幺交换环,则M为R的极大理想 R/M为域
证明：