这是一类很特殊的方程，前缀有点多，是一类范围很小的方程，但在物理中经常见到，故单独拿出来进行讨论。
我们先从二阶线性微分方程入手，y″+P(x)y′+Q(x)y+R(x)=0，若R(x)=0，则为二阶线性齐次微分方程。进一步地，若系数和x无关，都为常数，即为常系数二阶线性齐次微分方程y″+py′+qy=0.
要求解这个方程，可以先求出它的两个线性无关的特解，再由解的叠加原理得到通解。
设解的形式为y=erx代入方程即得到(r2+pr+q)erx=0⇒r2+pr+q=0.这个等式称为微分方程的特征方程，可见特征方程是一个一元二次代数方程，其解可由求根公式得到。需要分三种情况讨论：
1）特征方程有两个不等实根r1≠r2
则两个特解为y1=er1x,y2=er2x，而y1y2≠C，故通解为y=C1er1x+C2er2x.
2）特征方程有一对共轭复根r1=a+bi,r2=a−bi,b≠0
则两个特解为y1=eax+bxi,y2=eax−bxi，由欧拉公式有y1=eax[cos(bx)+isin(bx)],y2=eax[cos(bx)−isin(bx)].
特解含有复数部分，我们希望解是实的，运用解的叠加原理，可以凑出新的两个特解y11=12(y1+y2)=eaxcos(bx),y12=12(y1−y2)=eaxsin(bx).
它们也线性无关，因此通解为y=eax[C1cos(bx)+C2sin(bx)].
3）特征方程具有两个相等实根r1=r2
只能得到一个特解y1=er1x.设y2y1=u(x)⇒y2=y1u(x),代入原微分方程可得到u″=0.不放取u=x作为第二个特解。则通解为y=(C1+C2x)er1x.
以上结论可以推广到常系数n阶线性齐次微分方程。
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