数与式总复习 数与式这部分是代数的基础内容,难度不大但是内容琐碎,复习时要注意全面.
考试说明中的较高要求有三方面:
1.绝对值的化简问题与非负数的待定系数问题(绝对值中含有字母,对字母讨论).
2.代数式的变形(在代数式求值,整式乘法,整式的加减,乘法公式,因式分解,分式计算中都有要求). 中考没有繁难的计算,但是还是会对运算能力有所考查,对算理(法则,公式)的掌握和运用要重点复习.
3.利用数,式的知识(查找资料,构造算式,有关运算)解决实际问题.
需要控制难度的地方:
1.掌握有理数的加,减,乘,除,乘方及简单的混合运算(以三步为主).
2.理解整式乘法的运算法则上,会四个以内单项式的乘法运算,一个单项式与一个多项式的乘法运算,两个一次二项式的乘法运算(多项式乘以多项式对项数和次数都有控制).
3.没有整式的除法
(但是要了解整数指数幂的意义和基本性质,这里面有同底数幂的除法).
4.会用提公因式法,公式法(直接用公式不超过二次)进行因式分解(指数是正整数).
5.会进行二次根式的化简,会进行二次根式的混合运算(二次根式的个数不超过三个;不要求分母有理化).
一,实数
1.有理数
略高要求:会比较有理数的大小
总结比较实数大小的几种常见方法
数轴法:数形结合思想
求差法:如果a-b>0则a>b;如果a-b=0则a=b;如果a-b<0则a1则a>b;如果=1则a=b;如果<1则ab则a>b;
如果a=b则a=b;
如果a例2:试比较与的大小.(求商法)
2.无理数:
略高要求:会用有理数估计一个无理数的大致范围
例1.在-7,tan450,sin600,, -,,,0.585885888588885…中,无理数的个数有( )个
A.1个 B.4个 C.2个 D.3个
常见的无理数:
①含有的的式子
②构造型
③根号形,但要注意指的是开方开不尽的
④三角函数形
例2:在两个连续整数a和b之间,a<析解:由于 <<,即 3<<4,所以 a=3,b=4.
3.平方根,算术平方根,立方根
例:的平方根为( )
的算术平方根为( )
4.实数的概念及计算
例:计算:(结果精确到0.01)
(注意过程中的近似位数)
5.数轴
6.相反数:
(1)求有理数,无理数的相反数的方法:在其前面加负号
(2)运算特征:互为相反数的两个数和为零
互为倒数的两个数积为1
例.a,b互为相反数,c,d互为倒数,m的绝对值是2,求+4m-3cd= .
7.绝对值
(1)去掉绝对值符号的方法:1.判断符号2.是正得本身,是负前面加负号
(2)常见的非负数: , a ,
非负数的性质:若干个非负数的和为0,则每个非负数均为0.
例:求绝对值小于2.5的整数
(利用数轴数形结合,理解绝对值的意义,简单问题中注意数学思想的运用,使学生内化成自己的解题能力)
例:已知1(A)-2x (B)2 (C)2x (D)-2
例:实数a,b,c在数轴上的对应点如图,其中O是原点,且|a|=|c|
判定a+b, c-b的符号
化简|a|-|a+b|+|a+c|+|c-b|
例:已知x,y为实数,且则的值为( )
A.3 B.-3 C.1 D.-1
9.有理数的运算
例:计算:
(1)
(2)
(3)
(总结:正确的运算顺序;合理运用运算律;注意幂的符号法则,零指数和负指数幂的运算特性等)
例:1.(2006年泰州市中考)下图是5个城市的国际标准时间(单位:时),那么北京时间2006年6月17日上午9时应是:( )
伦敦时间2006年6月17日凌晨1时
纽约时间2006年6月17日晚上22时
多伦多时间2006年6月16日晚上20时
汉城时间2006年6月17日上午8时
2.小王上周五在股市以收盘价(收市时的价格)每股25元买进某公司股票1000股,在接下来的一周交易日内,小王记下该股票每日收盘价相比前一天的涨跌情况:(单位:元)
星期
一
二
三
四
五
每股涨跌(元)
+2
-0.5
+1.5
-1.8
+0.8
根据上表回答问题:
①星期二收盘时,该股票每股多少元
②本周内该股票收盘时的最高价,最低价分别是多少元
③已知买入股票与卖出股票均需支付成交金额的千分之五的交易费,若小王在本周五以收盘价将全部股票卖出,他的收益情况如何
10.科学记数法,近似数和有效数字
例:1.由四舍五入法得到的近似数3.10×104,它精确
到 位.这个近似值的有效数字是 .
2.一次水灾中,大约有20万人的生活受到影响,灾情将持续一个月.请推断:大约需要组织多少顶帐篷 多少吨粮食
二,整式和分式
1.代数式
(1)在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义.
例1:在某地,人们发现某种蟋蟀叫的次数与温度之间有如下的近似关系:记录蟋蟀每分叫的次数,用这个次数除以7,然后再加上3,就得到当时的温度.温度(℃)与蟋蟀每分叫的次数之间的关系是:
温度=蟋蟀每分叫的次数÷7+3.试用字母表示这一关系.
(2)能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义.
例2:对代数式3a作出解释.
例3:按图2-1摆放餐桌和椅子,一张餐桌可以坐6人,两张餐桌可以坐10人,三张餐桌可以坐14人,…,按此规律推断,n张餐桌可坐的人数为 .
(能够寻求数字规律,有实际背景的能够利用实际意义进行探究)
2.整式的有关概念
例:1.写出下列单项式的系数和次数:,
2.多项式是 次 项式,它的项是 .
3.如果关于,的单项式与是同类项,
(1)求的值
(2)若,并且,求的值
(复习同类项的概念)两个同:所含字母相同;相同字母的指数也相同
3.整式的加减
例:已知:,,求与的差.
例:春节期间冬装促销,甲商场7折优惠,乙商场8折优惠并在优惠后再直接减20元,购买同样商品,在甲商场买比在乙商场买多多少元 买多少标价的商品在甲商场更划算 (强调去括号法则)
4.幂的运算
例1:计算:(1) (2) (3)(强调1,2两个小题的区别)
例2:下列运算中,计算结果正确的个数是( )
(1) (2)
(3) (4)
(5)
(幂的运算是学生的易错点,应从幂的意义和公式推导过程等方面加深理解,并加强训练).
5.整式的乘法,乘法公式
例1:计算:
(1) ;
(2)
例2:计算:
(1);
(2);
(3)
例3:先化简,再求值:,其中
例4:已知x+y=4,xy=3,求:3x2+3y2;
(x-y)
6.因式分解
例1:把下列各式分解因式
(1) (2)
(3) (4)
例2:(2006浙江省中考)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个数为"神秘数".如:
因此4,12,20都是"神秘数"
(1) 28和2012这两个数是"神秘数"吗 为什么
(2) 设两个连续偶数为和,由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗 为什么
(3) 两个连续奇数的平方差(取正数)是神秘数吗 为什么
7.分式的概念
例1:(1)当取何值时,分式无意义
(2)当取何值时,分式有意义 值为零
8.分式的运算
例1:计算:(1)
(2)
例2:已知,,求的值
例3:(2006攀枝花市中考)将下面的代数式尽可能化简,再选择一个你喜欢的数(要合适哦!)代入求值:
三,二次根式
1.二次根式的概念
例1:当x为何值,下列代数式有意义
(1) (2) (3)
2.二次根式的性质
例1:化简: (1) (2)
(3) 已知,化简
例:若,求的取值范围.
3.二次根式的运算
例1:计算:
(1)
(2)
例2:已知,求的值
例:1.细心观察图形,认真分析各式,然后解答问题.
…… ……
请用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律.
推算出的长.
(3)求出的值.
2.某种树木的分枝生长规律如下图1-4-1所示,则预计到第6年时,树木的分枝数为 .
3.观察下列等式:
,,,……………
根据观察可得:_________.(n为正整数)
4.观察下面一列数:-1,2,-3,4,-5,6,-7,...,将这列数排成下列形式
按照上述规律排下去,第10行从左边第9个数是___________.
5.一串有黑有白,其排列有一定规律的珠子,被盒子遮住一部分(如图1-4-2),则这串珠子被盒子遮住的部分有____颗.
7.(06年鄂尔多斯市)如下图是小明用火柴搭的1条,2条,3条"金鱼",则搭条"金鱼"需要火柴 根.
8. 我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出右表,此表揭示了(n为非负数)展开式的各项系数的规律.例如:
,它只有一项,系数为1;
,它有两项,系数分别为1,1;
,它有三项,系数分别为1,2,1;
,它有四项,系数分别为1,3,3,1; ……
根据以上规律,展开式共有五项,系数分别为 .
9.解答题
(扬州市2005年) 为进一步落实《中华人民共和国民办教育促进法》,某市教育局拿出了b元资金建立民办教育发展基金会,其中一部分作为奖金发了n所民办学校.奖金分配方案如下:首先将n所民办学校按去年完成教育,教学工作业绩(假设工作业绩均不相同)从高到低,由1到n排序,第1所民办学校得奖金元,然后再将余额除以n发给第2所民办学校,按此方法将奖金逐一发给了n所民办学校.
(1)请用n,b分别表示第2所,第3所民办学校得到的奖金;
(2)设第k所民办学校所得到的奖金为元(1),试用k,n和b表示(不必证明);
(3)比较和的大小(k=1,2 ,……,),并解释此结果关于奖金分配原则的实际意义.
10.(2005海淀区)用"",""定义新运算:对于任意实数a,b,都有ab=a和ab=b,例如32=3,32=2.则(20062005) (20042003)=_________.
11. 按一定的规律排列的一列数依次为:┅┅,按此规律排列下去,这数中的第7个数是 .
12.(2005资阳) 若"!"是一种数学运算符号,并且1!=1,2!=2×1=2,3!=3×2×1=6,4!=4×3×2×1,…,则的值为( )
年 份
分 枝 数
第1年
1
第2年
1
第3年
2
第4年
3
第5年
5
图1-4-1
-1
2 -3 4
-5 6 -7 8 -9
10 -11 12 -13 14 -15 16
…………
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