关于概率论的数学题

Question

关于概率论的数学题图中最后的红线为什么fydy的积分是1？是因为他是连续性随机变量吗？如果是的话为什么呢，F(x+a)-F(x)仍然是某个函数的分布函数吗？求解，学的太差谢谢大家了。

Answer 1

f（y）是y取值的概率密度函数。而根据概率密度函数的定义，有以下要求
1、概率密度函数必须是非负函数，即任何点的概率密度函数的函数值必须大于等于0
2、从-∞到+∞之间，概率密度函数的定积分必须为1，其含义就是y必然是在-∞到+∞之间取值，所以y分布在-∞到+∞之间的可能性1。
3、y在区间[a，b]（a＜b）内的概率为a到b的f（y）的定积分。
所以那个定积分=1，是概率密度函数的性质之一。

F(x+a)-F(x)仍然是某个函数的分布函数吗？
不会
分布函数F（x）必须满足一下性质
1、F（x）必须是非负函数，即F（x）≥0恒成立
2、F（x）必须是不减函数，即如果x1＞x2，则F（x1）≥F（x2）恒成立。
3、lim（x→-∞）F（x）=0，lim（x→+∞）F（x）=1恒成立

而F(x+a)-F(x)不一定满足性质2；一定不满足条件3
因为lim（x→+∞）[F（x+a）-F（x）]=lim（x→+∞）F（x+a）-lim（x→+∞）F（x）=1-1=0
所以F(x+a)-F(x)不可能是某个随机变量的分布函数。追问

谢谢！第二个我明白了，但是怎么看出fy是概率密度呢？

追答

你没给题目，只是给了个解题分析。这我怎么回答，我只是根据解题分析推测f（y）大概是y的概率密度函数。
要不你把题目发过来。

追问

大哥，题目就是最后一道

追答

这是很明显的了，根据分布函数的定义可知，F（x+a）-F（x）就等于x在区间（x，x+a]上取值的概率。而这个概率就是这段区间内概率密度函数的定积分。
所以这个解题过程，这是省略了设X的概率密度函数为f（x）这一个步骤而已。当然，因为区间的上下限就含了x这个字母，所以解题过程中，就设为概率密度函数的自变量设为y，以便和区间端点的x区别。反正根据定积分的性质，定积分的结果只是和被积函数的函数形式以及被积区间有关，和被积函数的自变量是啥字母无关。

追问

明白了！谢谢大侠！第一段的定义就点醒我了！