隐函数求导：怎么对方程两边对X求导

Question

如题所述

Answer 1

已知方程F(x，y)=0能确定函数y=y(x)，那么方程两边对x取导数得：

∂F/∂x+(∂F/∂y)(dy/dx)=0

故dy/dx=-(∂F/∂x)/(∂F/∂y);

例如：已知方程F(x，y)= xy³+xe^y+3x+siny=0能取得函数y=y(x);

另一解法：方程两边对x取导数，得：

y³+3xy²y'+e^y+x(e^y)y'+3+(cosy)y'=0

(3xy²+xe^y+cosy)y'=-(y³+e^y+3)

∴y'=-(y³+e^y+3)/(3xy²+xe^y+cosy)

用此法时，要记住：y³ï¼Œe^y，cosy都是y的函数，而y又是x的函数，因此将它们对x求导时，

要用复合函数的链式求导规则；即d(xy³)/dx=∂(xy³)/∂x=[y³+x(∂y³/∂y)(∂y/∂x)]=y³+3xy²y';

其它类似。

Answer 2

与平常求导法则、方法一样。注意y是x的函数。
平常y=xlnx, y'=lnx+1.事实上，可以看成对方程两边对x求导。
隐函数y²=xlnx, 2yy'=lnx+1，y'=(1+lnx)/2y.
隐函数e^y+xy=e,
e^y y'+y+xy'=0, y'=-y/(x+e^y ).
注意化简。

Answer 3

注意y是x的函数