高一数学竞赛题

Question

函数f(x)=根号(1+x) - 根号(1-x)
（1）求f(x)的值域
（2）g(x)=mf(x)+根号(1-x^2)，求g(x)的最小值h(m)

Answer 1

1.由f(x)=根号(1+x) - 根号(1-x)知f（x）的
而 f(x)1=根号(1+x) 是幂函数在 -1≤x≤1 是增函数
f(x)2=根号(1+x) 是幂函数在 -1≤x≤1 是减函数 所以 -f(x)2 在 -1≤x≤1 上是增函数
故：f(x)=f(x)1-f(x)2 在定义域 -1≤x≤1 上是增函数
所以 f（-1）≤ f(x) ≤ f(1)
而 f（-1）=负的根号2， f（1）= 根号2
所以 f(x)的值域是[负的根号2,根号2]

2. 可求得g(x)的定义域也是 -1≤x≤1
令x=sina （-π/2 ≤a≤ π/2）
得g(x)=m｛根号(1+sina ) - 根号(1-sina ) }+根号(1-sina ^2)
化简得g(x)=m｛根号(sina/2+cosa/2 )^2 - 根号(cosa/2-sina /2)^2 }+根号(cosa ^2)
=m{sina/2+cosa/2- cosa/2+sina /2}+cosa
=2msina/2+cosa （-π/2 ≤a≤ π/2）
f（x）1=cosa在（-π/2 ≤a≤ 0）是单调增函数，在（ 0≤a≤π/2 ）是单调减函数。
当m>o时， f（x）2=2msina/2在（-π/2 ≤a≤ π/2）是单调增函数
当m<o时， f（x）2=2msina/2在（-π/2 ≤a≤ π/2）是单调减函数
故：由函数图像可以看出
当m>0时，g(x)的最小值h(m)=2msin（-π/4）+cos（-π/2）=- m根号 2
当m=0时，g(x)的最小值h(m)=0
当m<0时，g(x)的最小值h(m)=2msin（π/4）+cos（π/2）=- m根号 2
故g(x)的最小值h(m）=- m根号 2

Answer 2

解：
(1).换元法：令a=根号(1+x)，b=根号(1-x)，则有以下条件：
a>=0,b>=0, a^2+b^2=2, f(x)=a-b.所以f(x)^2=(a-b)^2= a^2+b^2-2a*b<=2(a^2+b^2)=4,
所以-2《f(x)《2。
(2). g(a,b)=ma-mb+ab的问题你自己想吧，以高一的知识应该只能返回x的表达式求导，并与边界值比较大小计算最小值了……不过太麻烦了，用变形后的g(a,b)应该求导简单点，将b=根号(2-a^2)代入求导，不过还要讨论m的范围吧，总之麻烦，不做了…………自己思考吧。

Answer 3

什么省份的？学没有学导数？你不告诉我学到哪里了我怎么做哦。。。。