7m+18n包含所有整数

Question

如何证明7m+18n是所有整数的集合 m和n都是整数

Answer 1

设k为任意整数（包含所有整数）,
则：如果我们将m表示为：
m=3k，
m=3k+1，
m=3k+2
则：m可包含所有整数
如果:m=3k
则：7m+18n
=21k+18n
=18*(k+n)+3k
无论k如何变化，我们总可以取相应的n，使n=-k,
则：这时k+n=0,
7m+18n=3k
如果:m=3k+1
则：7m+18n
=21k+18n+7
=18*(k+n)+3(k+2)+1
无论k如何变化，我们总可以取相应的n，使n=-k,
则：这时k+n=0,
7m+18n=3(k+2)+1
因k为任意整数，所以k+2仍是任意整数
如果:m=3k+2
则：7m+18n
=21k+18n+14
=18*(k+n)+3(k+4)+2
无论k如何变化，我们总可以取相应的n，使n=-k,
则：这时k+n=0,
7m+18n=3(k+4)+1
因k为任意整数，所以k+4仍是任意整数
综合以上：7m+18n可以表示为：3k,
3k+1,
3k+2,
k为任意整数
因此7m+18n是所有整数的集合