高中物理竞赛题

Question

在倾角为α的足够长的两条光滑平行金属导轨上，放一根质量为m电阻不计的金属棒ab。整个空间有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于轨道平面向上，如图所示。导轨宽度为L，电源电动势为ε，电源内阻为R，导轨电阻不计，电容器的电容为C，问（1）K接1时，ab的稳定速度为多少？（2）ab达到稳定速度时，K投向2，稳定后再下滑距离S，这过程电容器贮藏电能是多少？
。。。我不会微积分。
汗 玩队形么？ 能不能说详细点 谢了。

Answer 1

好几年没碰这些东西了，不知道对不对……

(1) 设稳定速度为v
根据法拉第电磁感应和欧姆定律，ε-BLv = IR
根据轨道平面上的受力平衡，BIL = mgsinα
从而可以求出v

(2) 设稳定（电容瞬间充电达到平衡）时电容两端电压为U，ab速度为v'
根据法拉第电磁感应定律及电路中无电阻，U = BLv'
根据电容充电瞬间中洛伦兹力的冲量等于ab动量的变化，BCUL = m(v-v')
从而可以求出v'。

之后再下滑的过程中：
根据轨道平面上的受力情况，ma = mgsinα - BIL ①
根据法拉第电磁感应定律及电路中无电阻，U = BLv ②
考虑微小的时间段Δt
根据②，ΔU = BLaΔt ③
根据电容的充电，IΔt = CΔU ④
由③④，I = CBLa，结合①可以求出加速度a；
再根据初速度v'求出下滑S之后的末速度；
再根据②求出电容两端的电压，然后可以知道此时电容中的电能。来自：求助得到的回答

Answer 2

淡定的微分方程...LC RC的通解数学法...竞赛书没高数好使,,,本回答被网友采纳

Answer 3

淡定的能量守恒问题， 先求出稳定时速度Vs，这个不用说吧，按题意下滑距离s后，ab静止，这个应该注意，也就是说Ec=0.5mVs^2+mg.s.sinα

Answer 4

完全非弹性碰撞是说圆环与桌面的碰撞后不弹起来碰撞时间极短能量几乎不损失
不用求微积分
摩擦力做功应等于圆环的动能E=0.5*m*(21*0.01)^2
f=mgμ*圈数(不确定是否正确)
gμ*圈数=0.5*(21*0.01)^2
解方程得圈数

Answer 5

2,3楼的朋友
上面那道关键不是R大于多少啊
关键是R要小于多少啊
R大于多少,大家都会算
R小于多少,那才真正有难度
七八年没做这种题了,被误导还是没那么容易的.......
这个要受力分析了
另外先说明一下,这题应该给出的条件是不考虑所有摩擦吧,如果球之间或者球和碗之间的摩擦比较大还是可以静止的,现实中在水平面放这样的四个球也是可以的
需要算出的是,三个球对上面这个球的支撑力角度,因为力是一样的,进行分解需要每个力分解出mg/3的垂直力来支撑
计算过程省略,得到这个支撑力的大小是√3mg/6
而这个支撑力的反作用力则是对下面小球受力分析的关键
三个小球位置可换,只要计算一个就可以了
小球也是受三个力,分别是碗的支撑力,上面小球的压力,还有重力,由于,要计算R的最大值,所以考虑临时状态,三个小球之间没作用力
其实所产生的水平力也就是上面小球施加下来的压力分解的水平力mg/6
垂直力则是支撑力及小球本身的重力,4mg/3
上面水平力和垂直力合起来就是碗对小球的支撑力
但支撑力大小并不用去算
算的是这个力的角度
水平力和垂直力的比是1:8
下面小球中心离碗中心的水平距离是2√3r/3
过程不多说,挺复杂的,(2/√3+1)r<=R<=2√195r/3+r,不知道有没有算错,太伤脑了,简直是训练

Answer 6

当重力的指向圆心的分量
<
小球需要的向心力时，小球能够脱离球面。
机械能守恒：1/2mv^2-1/2mv0^2=mg(R-Rcosθ)
......1
向心力：mv^2/R=mgcosθ
......2
（就是
mv^2/R>mgcosθ时，脱离球面）
1、2联立
得：
v0^2/R+2g(1-cosθ)=gcosθ
3gRcosθ=v0^2+2gR
cosθ=(1/3)*(v0^2/gR+2)