求证数列“1,1,2,3,5,8,13,21”的通项公式？

Question

如题所述

Answer 1

:裴波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21 裴波那契数列递推公式：F(n+2) = F(n+1) + F(n) F(1)=F(2)=1。 它的通项求解如下： F(n+2) = F(n+1) + F(n) => F(n+2) - F(n+1) - F(n) = 0 令 F(n+2) - aF(n+1) = b(F(n+1) - aF(n)) 展开 F(n+2) - (a+b)F(n+1) + abF(n) = 0 显然 a+b=1 ab=-1 由韦达定理知 a、b为二次方程 x^2 - x - 1 = 0 的两个根 解得 a = (1 + √5)/2，b = (1 -√5)/2 或 a = (1 -√5)/2，b = (1 + √5)/2 令G(n) = F(n+1) - aF(n)，则G(n+1) = bG(n)，且G(1) = F(2) - aF(1) = 1 - a = b，因此G(n)为等比数列，G(n) = b^n ，即 F(n+1) - aF(n) = G(n) = b^n --------(1) 在(1)式中分别将上述 a b的两组解代入，由于对称性不妨设x = (1 + √5)/2，y = (1 -√5)/2，得到： F(n+1) - xF(n) = y^n F(n+1) - yF(n) = x^n 以上两式相减得： (x-y)F(n) = x^n - y^n F(n) = (x^n - y^n)/(x-y) = {[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}/√5

Answer 2

公元1202年,意大利数学家斐波那契提出了一个智力题:第一个月买回一对小兔子,第二个月小兔长成大兔,第三个月生下一对小兔,小兔一个月后长成大兔,大兔每月都能生一对小兔,买兔养兔人家各月兔子的对数为1,1,2,3,5,8,13,21,.......谁能往下写得多,谁聪明,这个智力游戏当时十分流行,这个数列就称为斐波那契数列,后来,斐波那契给出了这个数列的递推公式:a1=1,a2=1,a(m+2)=a(m+1)+am,(m≥1,m∈Z)后来人们想找到数列的通项公式,但很久未成功,直到二百多年后,法国数学家比内终于得出了通项公式:an={[(√5+1)^n]/2-[(1-√5)^n]/2]}÷√5一个以正整数为项的数列通项竟是含无理数的复杂分式,令人称奇!这个通项的推导很复杂,这里无法叙述.斐波那契数列美妙无比,以它前项为分子,后项为分母的数列:2/3,3/5,5/8.8/13,......是黄金分割数0.618的分数表示斐波那契数列像黄金分割一样,用途十分广泛,它在科研,文学,艺术,体育,医学等许多方面都有广泛应用,千多年来,对它的研究一直热烈进行,并逐步发展.有关的论文和专著很多,有兴趣的话,可以去书店买几本通俗小册子读读.

Answer 3

An=A(n-1)+A(n-2)