对一维运动,求算符p+x的本征值和本征函数

Question

如题所述

Answer 1

假如有个本征值a，对应本征函数f，那么直接愣算。

i f'(x) + x f(x) = a f(x)，
f'(x) + (x-a)/i f(x) = 0。
然后弄个积分因子，u'(x) = (x-a)/i，
就是f'(x) + u'(x) f(x) = 0，所以 e^(u) f = 常数C，C可以直接假定成1，因为本征函数乘个常数是无所谓的。
f= e^(-u) = exp (- (x-a)^2 / 2i)。本征值就是a。假如有边界值条件的话，这个a应该取离散值（比如要求f(0)=f(1)=0什么的）。