中考数学最后一问，急急急

Question

http://www.jyeoo.com/math/ques/detail/64f5a084-ebd2-4324-aac4-e2c8e421f9b1
为什么最后一问要绕PQ中点旋转？？

Answer 1

郭敦顒回答：

2013•è¡¢å·žï¼‰åœ¨å¹³é¢ç›´è§’坐标系xOy中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒√2个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒．
（1）当点P移动到点D时，求出此时t的值；
（2）当t为何值时，△PQB为直角三角形；
（3）已知过O、P、Q三点的抛物线解析式为y=-（1/t）（x-t）2+t（t＞0）．问是否存在某一时刻t，将△PQB绕某点旋转180°后，三个对应顶点恰好都落在上述抛物线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

原解析：

（3）存在这样的t值，理由如下：
将△PQB绕某点旋转180°，三个对应顶点恰好都落在抛物线上，则旋转中心为PQ中点，此时四边形PBQB′为平行四边形．

∵PO=PQ，由P（t，t），Q（2t，0），知旋转中心坐标可表示为（3 t/2，t/2），

∵点B坐标为（6，2），∴点B′的坐标为（3t-6，t-2），
代入y=-（1/t）（x-t）2+t（t＞0），得：2t2-13t+18=0，
解得：t1=9/2，t2=2

当t1=9/2时，P（t，t）=P（4.5，4.5），Q（2t，0）=Q（9，0），

当t1=2时，P（t，t）=P（2，2），Q（2t，0）=Q（4，0），

原解析结果是正确的但与图形显示的结果却不够相符。

问题出在哪里？出在给出的图形有误，先解答所提问题，再给出正确图形

旋转中心应为PQ中点K，则点P、Q位置互换，点B旋转到B′，B、B′对称于K，BQB′P 为平行四边形，点P、Q仍在抛物线y=－（1/t）（x－t）2+t上，B′也在抛物线上；否则，旋转180°后，P、Q旋转到P′、Q′，则不在抛物线上了，这不符合要求。这就是提问要解答的中心了。

∵三点坐标为，B（6，2），Q（2t，0），P（t ，t）

设K的坐标为K（3 t/2，t/2），点B′的坐标为B′（3t－6，t－2），

B′（3t－6，t－2）的坐标值代入y=-（1/t）（x-t）2+t（t＞0），得：2t2-13t+18=0，
解得：t1=9/2，t2=2。

当t=2时，P（t，t）=P1（2，2），Q（2t，0）=Q1（4，0），

K（3 t/2，t/2）= K 1（3，1），B′（3t－6，t－2）= B′（0，0），

B′重合于原点O（0，0）。P1（2，2）为第一支抛物线的顶点，

第一支抛物线为y=－（1/t）（x－t）2+t=－（1/t）x2+2x，

y=－（1/2）x2+2x；

当t₂=9/2时，P（t，t）=P₂（4.5，4.5），Q₂（2t，0）=Q1（9，0），

K（3t/2，t/2）= K₂（6.75，2.25），B′（3t－6，t－2）= B′（7.5，2.5）。

P1（2，2）为第二支抛物线的顶点，

第二支抛物线为y=－（1/t）（x－t）2+t=－（1/t）x2+2x，

y=－（2/9）x2+2x。

抛物线的开口向下（抛物线的图形未绘出）。

 

         Y

 

   

 

                                       

 

 

                                   P2（4.5，4.5）

                                                  

                   

                                               B2′（7.5，2.5）

                    D            B（6，2）

          A       P1 （2，2）            K2（6.75，2 .25）

                            K1(3,1)

          O  （0，0）                                            X

             B′ 1                    C

                             Q1（4，0）          Q2（9，0）

Answer 2

三个对应顶点恰好都落在抛物线上，为了这个，让点在抛物线上以后能用数字或者字母将坐标写出，然后带出抛物线上后便可以得出坐标