当三个点A、B、C的坐标分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3、y3)时，三角形面积为，
S=(x1y2-x1y3+x2y3-x2y1+x3y1-x2y2)。
解：设三个点A、B、C的坐标分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3、y3)。
那么A、B、C三点可围成一个三角形。AC与AB边的夹角为∠A。
那么向量AB=(x2-x1，y2-y1)、向量AC=(x3-x1，y3-y1)。
令向量AB=a，向量AC=b，
则根据向量运算法则可得，
|a·b|=|a|·|b|·|cosA|，
那么cosA=|a·b|/(|a|·|b|)，则sinA=√((|a|·|b|)^2-(|a·b|)^2)/(|a|·|b|)。
那么三角形的面积S=|a|·|b|·sinA=√((|a|·|b|)^2-(|a·b|)^2)
又a·b=(x2-x1)*(x3-x1)+(y2-y1)*(y3-y1)，
那么可得三角形的面积S=(x1y2-x1y3+x2y3-x2y1+x3y1-x2y2)。
扩展资料：
1、向量的运算
对于向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，c(x3,y3)则向量的运算法则如下。
（1）数量积
对于向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，且a，b之间的夹角为A，那么
a·b=b·a、(λa)·b=λ(a·b)、（a+b)·c=a·c+b·c。
a·b=|a|·|b|·cosA，
（2）向量的加法
a+b=b+a、(a+b)+c=a+(b+c)
（3）向量的减法
a+(-b)=a-b
2、正弦定理应用
在任意△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，
那么a/sinA=b/sinB=c/sinC。
且三角形面积S=1/2absinC=1/2acsinB=1/2bcsinA。
参考资料来源：百度百科-向量
参考资料来源：百度百科-正弦定理
鞋带公式 （Shoelace formula），也叫高斯面积公式，是一种数学算法，可求确定区域的一个简单多边形的面积。该多边形是由它们顶点描述笛卡尔坐标中的平面。用户交叉相乘相应的坐标以找到包围该多边形的区域，并从周围的多边形中减去该区域以找到其中的多边形的区域。之所以称为鞋带公式，是因为对构成多边形的坐标进行恒定的交叉乘积，就像系鞋带一样。——以上来自维基百科en.wikipedia.org/wiki/Shoelace_formula。
为什么叫做鞋带公式，这是因为在计算的过程很像鞋带一样缠绕着，比如一个多边形（三角形），三个顶点分别是 A:(x1, y1) , B:(x2, y2) , C:(x3, y3) 鞋带公式是这样子算的：
S三角形=0.5∗((x1∗y2+x2∗y3+x3∗y1)−(y1∗x2+y2∗x3+y3∗x1))的绝对值
我们代个数进去试试A:(0, 4) , B:(0, 0) , C:(3, 0) ，代进公式中：S 三 角 形 = 0.5 ∗ ( ( 0 ∗ 0 + 0 ∗ 0 + 3 ∗ 4 ) − ( 4 ∗ 0 + 0 ∗ 3 + 0 ∗ 0 ) ) = 6
stereohomology