初三数学竞赛题

Question

已知函数f(x)=√x²+2(x>0）
（1）求证 ：0<(x)-x<X分之一
（2）试求M=f(1002)+f(1003)+f(1004)+……+f(2005)的整数部分
明天老师讲了之后，我再选最佳，大家请耐心等下，。

Answer 1

（1）f(x)-x=√x²+2-x=2/(√x²+2+x) (分子有理化)
因为x>0，所以√x²+2+x>2x>0，所以0<f(x)-x<1/x
(2)由(1)知x<f(x)<x+1/x
所以1002+1003+……+2005<M<1002+1003+……+2005+1/1002+1/1003+……+1/2005
而1002+1003+……+2005=1509514
1/1002+1/1003+……+1/2005=3007/(1002*2005)+3007/(1003*2004)+……+3007/(1503*1504)<3007*502/(1002*2005)<1
所以M的整数部分为1509514

Answer 2

（1）f(x)-x=√x²+2-x=2/(√x²+2+x) (分子有理化)
因为x>0，所以√x²+2+x>2x>0，所以0<f(x)-x<1/x