试用特征根方程法，求满足下列递推式的数列a(n).

Question

6.试用特征根方程法，求满足下列递推式的数列a(n). (1) a(n+2)=a(n+1)+2a(n) ,a(0)=1,a(1)=0; (2) a(n+2)=3a(n+1)-2a(n),a(0)=0,a(1)=1 (3) a(n+3)-2a(n+2)-a(n+1)+2a(n)=0,a(0)=0,a(1)=0,a(2)=6 答案是:(1) a(n)=[(2^n)+2*(-1)^n]/3 (2) a(n)=(2^n)-1 (3) a(n)=2^(n+1)-3+(-1)^n 这是怎么做出来的? 请写出详细过程及思路。 谢~~~

Answer 1

(1):a(n+2)=a(n+1)+2a(n)的特征方程为:x^2=x+2,x=-1,2;
可以设通项为:a(n)=c1*(-1)^n+c2*2^n,a(0)=1,a(1)=0,
c1+c2=1,
-c1+2c2=0解得:
c1=2/3,c2=1/3,
a(n)=[(2^n)+2*(-1)^n]/3
(2):特征根为1，2，方法同上.
(3):特征方程为x^3-2x^2-x+2=0,(x-1)(x-2)(x+1)=0,特征根为1，2，-1
设通解为:a(n)=c1*1^n+c2*(-1)^n+c3*2^n=c1+c2*(-1)^n+c3*2^n
a(0)=0,a(1)=0,a(2)=6带入解得c1,c2,c3即得.
一般特征根方程法求通项，先写出它的特征方程，求出特征根(x1,x2,x3...,xm)，然后设通项为:a(n)=c1*x1^n+c2*x2^n+...+cm*xm^n
,根据前m项解方程组，求出c1,c2,...,cm.