复变函数级数展开问题？

Question

如图所示，需求详细过程，谢谢！！！

Answer 1

分享解法如下。设f(z)=1/[(z-2)(1+z²)]=a/(z-2)+(bz+c)/(1+z²)。可求得a=1/5，b=-1/5，c=-2/5。∴f(z)=(1/5)[1/(z-2)-z/(1+z²)-2/(1+z²)]。

当1<丨z丨<2时，有丨z/2丨<1，丨1/z²丨<1。∴f(z)=(1/5)[(-1/2)/(1-z/2)-(1/z)/(1+1/z²)-(2/z²)/(1+1/z²)]。
此时，1/(1-z/2)=∑(z/2)^n，1/(1+1/z²)=∑(-1/z²)^n，n=0,1,2，……，∞。
∴f(z)=(-1/10)∑(z/2)^n-(1/5)∑[(-1)^n][1/z^(2n+1)+2/z^(2n+2)]，n=0,1,2,…,∞；1<丨z丨<2。
供参考。