求数列的通项公式共有多少种方法

Question

如题所述

Answer 1

一、题目已知或通过简单推理判断出是等比数列或等差数列，直接用其通项公式。
例：在数列{an}中，若a1=1，an
1=an
2(n1)，求该数列的通项公式an。
解：由an
1=an
2(n1)及已知可推出数列{an}为a1=1，d=2的等差数列。所以an=2n-1。此类题主要是用等比、等差数列的定义判断，是较简单的基础小题。
二、已知数列的前n项和，用公式
s1
(n=1)
sn-sn-1
(n2)
例：已知数列{an}的前n项和sn=n2-9n，第k项满足5
(a)
9
(b)
8
(c)
7
(d)
6
解：∵an=sn-sn-1=2n-10，∴5<2k-10<8
∴k=8
选
(b)
此类题在解时要注意考虑n=1的情况。
三、已知an与sn的关系时，通常用转化的方法，先求出sn与n的关系，再由上面的(二)方法求通项公式。
例：已知数列{an}的前n项和sn满足an=snsn-1(n2)，且a1=-，求数列{an}的通项公式。
解：∵an=snsn-1(n2)，而an=sn-sn-1，snsn-1=sn-sn-1，两边同除以snsn-1，得---=-1(n2)，而-=-=-，∴{-}
是以-为首项，-1为公差的等差数列，∴-=
-，sn=
-，
再用(二)的方法：当n2时，an=sn-sn-1=-，当n=1时不适合此式，所以，
-
(n=1)
-
(n2)
四、用累加、累积的方法求通项公式
对于题中给出an与an
1、an-1的递推式子，常用累加、累积的方法求通项公式。
例：设数列{an}是首项为1的正项数列，且满足(n
1)an
12-nan2
an
1an=0，求数列{an}的通项公式
解：∵(n
1)an
12-nan2
an
1an=0，可分解为[(n
1)an
1-nan](an
1
an)=0
又∵{an}是首项为1的正项数列，∴an
1
an
≠0，∴-=-，由此得出：-=-，-=-，-=-，…，-=-,这n-1个式子，将其相乘得：∴
-=-，
又∵a1=1，∴an=-(n2)，∵n=1也成立，∴an=-(n∈n*)
五、用构造数列方法求通项公式
题目中若给出的是递推关系式，而用累加、累积、迭代等又不易求通项公式时，可以考虑通过变形，构造出含有
an(或sn)的式子，使其成为等比或等差数列，从而求出an(或sn)与n的关系，这是近一、二年来的高考热点，因此既是重点也是难点。
例：已知数列{an}中，a1＝2，an
1=(--1)(an
2)，n=1,2,3,……
(1)求{an}通项公式
(2)略
解：由an
1=(--1)(an
2)得到an
1--＝
(--1)(an--)
∴{an--}是首项为a1--，公比为--1的等比数列。
由a1＝2得an--=(--1)n-1(2--)
，于是an=(--1)n-1(2--)
-
又例：在数列{an}中，a1=2，an
1=4an-3n
1(n∈n*)，证明数列{an-n}是等比数列。
证明：本题即证an
1-(n
1)=q(an-n)
(q为非0常数)
由an
1=4an-3n
1，可变形为an
1-(n
1)=4(an-n)，又∵a1-1=1，
所以数列{an-n}是首项为1，公比为4的等比数列。
若将此问改为求an的通项公式，则仍可以通过求出{an-n}的通项公式，再转化到an的通项公式上来。
又例：设数列{an}的首项a1∈(0,1)，an=-，n=2，3，4……(1)求{an}通项公式。(2)略
解：由an=-，n=2,3,4,……，整理为1-an=--(1-an-1)，又1-a1≠0，所以{1-an}是首项为1-a1，公比为--的等比数列，得an=1-(1-a1)(--)n-1