如图,ab是圆o的直径过点a的直线pc交圆o于点ac,两点ad平分角cab。射线ad交圆o

Question

如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AC=3，DE=2，求AD的长．

Answer 1

（1）证明：连接OD， ∵AD为∠EAB的平分线， ∴∠EAD=∠BAD， ∵OA=OD， ∴∠BAD=∠ODA， ∴∠EAD=∠ODA， ∴OD ∥ AE， ∵AE⊥ED， ∴OD⊥DE， 则DE为圆O的切线； （2）∵DE为圆的切线，AE为圆的割线， ∴DE 2 =EC•EA=EC•（EC+AC）， ∵AC=3，DE=2， ∴4=EC（EC+3），即EC 2 +3EC-4=0，即（EC-1）（EC+4）=0， 解得：EC=1， 则AE=AC+CE=3+1=4， 在Rt△AED中，AE=4，DE=2， 根据勾股定理得：AD=2 5 ．