泰勒公式求高阶导数适用范围

Question

如题所述

Answer 1

泰勒公式求高阶导数适用范围：（sinkx）=knsin（kx+n π/2）、（coskx）=kncos（kx+n π/2）、（Inx）=-1（n-1）/x，而且随着求导次数的增加，中间变量的出现次数会增多，需注意识别和区分各阶求导过程中的中间变量。

其中如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。

概念分析

1、条件：f(x)n阶可导。其中o((x-x0)^n）表示比无穷小(x-x0)^n更高阶的无穷小。而公式最典型的应用就是求任意函数的近似值，还可以求等价无穷小，证明不等式，求极限等。

2、原理：若将指数函数 ex 作泰勒展开，则得以 x=1 代入上式得，此级数收敛迅速，e 近似到小数点后 40 位的数值是将指数函数 ex 扩大它的定义域到复数 z=x+yi 时，由透过这个级数的计算出来。