有关求正三棱锥，正方体，长方体的外接球和内接球的体积的典型例题

Question

要有详细讲解和答案以及总结方法

Answer 1

正三棱锥的外接球体积与内接球体积之比是多少
体积比1:27
设正四面体为PABC，由于对称，两球球心重叠，设为O。
设正四面体为PABC的内切球半径为r。
设PO的延长线与底面ABC的交点为D，则PD为正四面体PABC的高，其垂直于底面ABC，且PO=R，OD=r，OD=正四面体PABC内切球的高。
设正四面体PABC底面面积为S。
将球心O与四面体的4个顶点PABC全部连结，可以得到4个全等的正三棱锥，体心为顶点，以正四面体面为底面。
每个正三棱锥体积V1=1/3*S*r
而正四面体PABC体积V2=1/3*S*（R+r）
根据前面的分析，4*V1=V2
所以，4*1/3*S*r=1/3*S*（R+r）
所以，R=3r
由于球体积公式为V=（4/3）лr^3
故正四面体外接球与内切球体积之比=1:27