高中数学数列数学归纳法难题，求解答！！要过程谢谢，会加悬赏分！！

Question

如题所述

Answer 1

1、an+Sn=2n+1
求n->∞lim[1/2a1a2+1/2^2a2a3+...+1/2^nana(n+1)]

解：
a(n-1)+S(n-1)=2(n-1)+1
两式相减：
an-a(n-1)+Sn-S(n-1)=2
Sn-S(n-1)=an代入：
2an=a(n-1)+2
an=(1/2)a(n-1)+1

n=1时：a1+S1=a1+a1=2x1+1=3，
a1=3/2=（4-1）/2=（2^2-1）/2
a2=(1/2)a1+1=(1/2)（3/2）+1=3/4+1=7/4=（8-1）/4=（2^3-1）/2^2
a3=(1/2)a2+1=(1/2)（7/4）+1=7/8+1=15/8=（16-1）/8=（2^4-1）/2^3
a4=(1/2)a3+1=(1/2)（15/8）+1=15/16+1=31/16=(32-1)/16=(2^5-1)/2^4
猜测：
ak=（2^(k+1)-1)/2^k
a（k+1）=(1/2)ak+1=(1/2)[（2^(k+1)-1)/2^k]+1=（2^(k+1)-1)/2^（k+1

）+1=[2^(k+1)-1+2^(k+1)]/2^(k+1)=[2x2^(k+1)-1]/2^(k+1)
=[2^(k+2)-1]/2^(k+1)
猜测正确。
1/2^kaka(k+1)=(1/2^k)[2^k/(2^(k+1)-1)][2^(k+1)/(2^(k+2)-1)]
=2^(k+1)/(2^(k+1)-1)(2^(k+2)-1)
=2^(k+1)(2-1)/(2^(k+1)-1)(2^(k+2)-1)
=[2^(k+2)-2^(k+1)]/(2^(k+1)-1)(2^(k+2)-1)
=[(2^(k+2)-1)-(2^(k+1)-1)]/(2^(k+1)-1)(2^(k+2)-1)
=1/(2^(k+1)-1)-1/(2^(k+2)-1)
∴
1/2a1a2+1/2^2a2a3+...+1/2^nana(n+1)
=（1/3-1/7）+（1/7-1/15）+（1/15-1/31）+...+[1/(2^(n+1)-1)-1/(2^

(n+2)-1)]
=1/3-1/(2^(n+2)-1)
n->∞时，上式后面一项趋近于0，上式趋近于1/3

2、an,a(n+1)是方程4^nx^2-4^nbnx+1=0的根，无穷数列{bn}所有项的和是

11/3，求无穷数列{an}的所有项的和。

解：
根据韦达定理：
ana(n+1)=1/4^n
an+a(n+1)=4^nbn/4^n=bn

后一项：
a(n+1)a(n+2)=1/4^(n+1)
相除：
a(n+2)/an=1/4
因此，数列{an}的奇数项和偶数项分别是两个公比为1/4的等比数列。所有项

之和=a1/(1-1/4)+a2/(1-1/4)=(4/3)(a1+a2)=(4/3)b1

再研究{bn}
b1=a1+a2
b2=a2+a3
b3=a3+a4=a1/4+a2/4=(a1+a2)/4=b1/4
b4=a4+a5=a2/4+a3/4=(a2+a3)/4=b2/4
bn=an+a(n+1)=a(n-2)/4+a(n-1)/4=[a(n-2)+a(n-1)]/4=b(n-2)/4
因此{bn}也是奇数项和偶数项分别是两个公比为1/4的等比数列。所有项之和

=b1/(1-1/4)+b2/(1-1/4)=(4/3)(b1+b2)=11/3
b1+b2=11/4=a1+a2+a2+a3=a1+2a2+a3
a1a2=1/4,a1=1/4a2
a2a3=1/4^2,a3=1/16a2
代入：
1/4a2+2a2+1/16a2=11/4
2a2+5/16a2-11/4=0
32a2^2-44a2+5=0
（8a2-1）（4a2-5）=0
a2=1/8，或者a2=5/4
a1=1/4a2=2，或者a1=1/4a2=1/5
b1=a1+a2=2+1/8=17/8，或者b1=1/5+5/4=29/20
a3=1/16a2=1/2，或者a3=1/16a2=1/20
b2=a2+a3=5/8，或者b2=a2+a3=5/4+1/20=26/20=13/10
b1+b2=17/8+5/8=22/8=11/4，或者b1+b2=29/20+26/20=55/20=11/4
正确

{an}个项之和=(4/3)b1=(4/3)（17/8）=17/6
或者
{an}个项之和=(4/3)b1=(4/3)（29/20）=29/15

3、n∈N*，y=n(n+1)x^2与y=（2n+1）x-1截得的线段在x轴上的射影的长度之

和。

解：
代入得：
n(n+1)x^2=（2n+1）x-1
n(n+1)x^2-（2n+1）x+1=0
(nx-1)[(n+1)x-1]=0
x1=1/(n+1),x2=1/n
|x1x2|=x2-x1=1/n-1/(n+1)
各项之和=
(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+...+(1/n-1/(n+1))
=1-1/(n+1)
n->∞时，上式趋近于1

4、数列{an}前n项的和Sn=na+n(n-1)b,(n=1,2,...),a，b为常数。
（1）证明：{an}是等差数列。
（2）证明，以(an,Sn/n-1)为坐标的点Pn（n=1，2，...)都落在同一条直线

上，并写出此直线的方程。

解
（1）
证明：
a1=S1=a
S(n-1)=(n-1)a+(n-1)(n-2)b
an=Sn-S(n-1)=a+(n-1)2b=a1+(n-1)2b
这是公差为2b的等差数列。
(2)
Sn/n-1=a+(n-1)b-1
Pn(a+(n-1)2b,a+(n-1)b-1)
P(n+1)(a+2nb,a+nb-1)
PnP(n+1)的斜率=[(a+nb-1)-(a+(n-1)b-1)]/[(a+2nb)-(a+(n-1)2b)]
=b/2b=1/2=定值
因此，P1，P2，...,Pn共线
P1(a,a-1),
y=(1/2)(x-a)+(a-1)
Pn的坐标代入：
左边=a+(n-1)b-1
右边=(1/2)(a+(n-1)2b-a)+(a-1)
=(1/2)((n-1)2b)+(a-1)
=(n-1)b+(a-1)
=a+(n-1)b-1
左边=右边，正确