标准正态分布的方差和均值怎么求？

Question

如题所述

Answer 1

x2的方差是2。标准正态分布是指均值为0，标准差为1的正态分布。x2指的是随机变量X的平方，其中X服从标准正态分布。
对于一个标准正态分布X，它的方差是1（方差是指随机变量离其均值的平均距离的平方）。因此，对于X2，我们需要计算它的方差，即：
Var(X2) = E(X4) - [E(X2)]2
其中，E(X2)表示X2的期望值（也就是平均值），计算公式为：
E(X2) = ∫x2 φ(x)dx
这里，φ(x)表示标准正态分布的概率密度函数。由于X2是一个平方，它的概率密度函数实际上是另一个分布的密度函数，称为卡方分布。
用卡方分布的形式写出X2的期望和期望平方：
E(X2) = k
E(X4) = 3k2 + 6k
其中，k是自由度，这里为1。因此，
Var(X2) = E(X4) - [E(X2)]2 = 3k2 + 6k - k2 = 2k
带入自由度的值1，得到 X2 的方差是2。