初等矩阵的逆矩阵是它的本身吗？

Question

如题所述

Answer 1

初等矩阵的逆矩阵不是本身。

初等矩阵有三类变换，分别是：行列互换型，倍加型和数乘型，其中行列互换型的逆矩阵是其自身；倍加型的逆矩阵是把倍数取相反数做相同变换；数乘型的逆矩阵就是把k取倒数做相同变换。

★初等矩阵

初等矩阵是指由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵。初等矩阵的模样可以写一个3阶或者4阶的单位矩阵。

首先：初等矩阵都可逆，其次，初等矩阵的逆矩阵其实是一个同类型的初等矩阵（可看作逆变换）。例如，交换矩阵中某两行（列）的位置；用一个非零常数k乘以矩阵的某一行（列）；将矩阵的某一行（列）乘以常数k后加到另一行（列）上去。若某初等矩阵左乘矩阵A，则初等矩阵会将原先施加到单位矩阵E上的变换，按照同种形式施加到矩阵A之上。或者说，想对矩阵A做变换，但是不是直接对矩阵A去做处理，而是通过一种间接方式去实现。

★逆矩阵

设A是一个n阶矩阵，若存在另一个n阶矩阵B，使得： AB=BA=E  ，则称方阵A可逆，并称方阵B是A的逆矩阵 。

单位矩阵的逆矩阵是它本身；A与B的地位是平等的，故A、B两矩阵互为逆矩阵，也称A是B的逆矩阵。