高等数学里, 求极限的技巧特别多, 这也正是因为极限的求法相对比较难, 所以发展出多种多样的求极限方法. 有很多方法只是针对特定类型的极限有效. 现在我们看看高等数学里都有哪些求极限的方法, 以及哪些类型的极限应用什么方法比较有效.
我们先来说一说求极限时的一般原则.
首先, 运用极限的运算法则(四则运算, 连续函数的极限, 复合函数的极限), 确定极限是不是未定式极限；
两种基本的未定式极限是 0/0 和8a6fb79c8c556f04e353be1aa4e5f8d1.png 型, 这两种情形一般可以用洛必达法则来求. 有一些特殊的情形, 我们接下来讲；
其它未定式极限11458fe704b455c189c28eab3e9325f2.png,要先化成上面的两种基本情形来求，然后用洛必达法则或者其它方法来求。
各种类型的极限求法:
对未定式极限，0/0 型或者 8a6fb79c8c556f04e353be1aa4e5f8d1.png，最有效也是最基本的方法是洛必达法则。也就是在求极限的时候，先分子分母分别求导，再求极限。例如9c68d8962bc108a335b12bc413c49938.png
0/0 型， 2735cd18f7c1d357baa3843a7ff3225c.png ，且分子分母都是多项式，则分子分母可以约去无穷小因子 2735cd18f7c1d357baa3843a7ff3225c.png。
0/0 型， 2735cd18f7c1d357baa3843a7ff3225c.png ，且分子或者分母有根式， 则先对根式有理化，然后用极限运算法则或者约去无穷小因子的方法来计算。
0/0 型， 87420a9fea4e2b44ce68a01d52013793.png ，分子或分母有三角函数，则利用三角函数恒等式或其它变换，化成两个重要极限的第一个，利用那个极限来求。
c439aff98f406d66c289ac333020fcb6.png 型，7efe2e2c8688b87ed9ddbcd43d355a41.png (或者 cde196b04c1890dbe56ba6e85f50533f.png)，且分子分母都是 x (或者 n)的多项式或者类似于多项式(根式里是多项式)时，分子分母同除以 x 的最高阶幂。
9eb15f713ee57ae51af9ad35d4d7c6e3.png 型，如二者都是分式，则先通分，化成两种基本形式，再用洛必达法则或者其它方法求极限。
9eb15f713ee57ae51af9ad35d4d7c6e3.png 型，如果其中一个含有根式，则先有理化，再用其它方法求极限。
a1a318e37fd54442df50d277e5719fc0.png型 ， 首先尝试能不能化成 4185916516c38226cb23b9494ad1b1d3.png 的复合式，然后利用已知极限4aee3eb67d97a99a9a53cac112b025a9.png , 这里 a8798a0daca9ee4a664fa0319be7f64a.png是一个无穷小量。
81e284bea5b952d15f7da1715c952be6.png型，6afb98f5cea4104dad614bbfc816c5ce.png 型， e8df849458da89cad0585f889f0f6bce.png 型，先取对数， 再取 e 底，化成基本的未定式极限 da4fa0cd21b7cb058ed362d10a1ff16a.png，然后用洛必达法则或者其它方式求极限。例如0db4d946890749273ff051fd2036b450.png最后一步是对指数部分应用洛必达法则。
1cbce43657fb273b6263221e640cf2a5.png 型，将其中一个乘式变成分母，从而化成两种基本形式的未定式；再利用其它方法求积分。例如1ecc04d675f890ca5c9986169a3138f4.png
如果未定式极限里，函数比较复杂，不能用洛必达法则或者洛必达法则使用起来太麻烦的话，则考虑用泰勒展开来求极限。例如09ab14b9762ee6e2ded9852969eeef91.png
前者将 befb035a04fe745584b364604558ffb2.png 展开到三阶，后者将 63c905a0750c8bf187a2579d17745750.png 展开到 a0f2663e57db53511283c44e0cf49df9.png 的四阶。
如果可以通过一个明显的放缩，且放缩后两者的极限都相等的话，就使用夹挤原理来求极限。例如d8fbd853a301d957e40df3c431782937.png
显然有eb2b0a353c33f18d6dab99132be1bfff.png
不等号的左边和右边都有相同极限 1(只需要在分子分母除以 79fd2cf359ec93f012ab17c96f52354d.png 即可)，所以由夹挤原理，原极限为 1。
如果含有变上限积分，那么通常情况下是洛必达法则结合变上限积分的导数来求；
如果数列是用递推或者迭代形式给出， 即 ddca651931a995a19bae9d810186da02.png， 那么肯定是用递推法来求极限，这时候，要注意，一定要先证明极限存在(单调有界数列)，然后两边取极限，可得一个代数式，从而可以求得极限；
如果是数列的每一项是无限多个项相加，且每一项可以写成 5d6157785ef761aec1a6ab3f635d36b1.png 的话，那么这个极限可以用定积分的定义来求。这里，fc9ae40a006c3db9695114b1b299bb88.png 取值范围就是定积分的积分上下限，而 c3a72d201f0ba96f95a170e85871baf6.png 就是被积函数。例如df5dd654953e2cfc4a44eddef71018fa.png
这里，97a589440c371b3fbe9d4b0280101bff.png ，所以被积函数是 bac8b1be1ddb9e5d1a8e1f0332f2e50b.png， 在和式里的取值范围是从 0 到 1。(0 这一项可以认为没写出来)。所以原极限等于定积分
d00ffced8b6d1ff3e79e09fe8efa4253.png
分段函数在分段点处的极限一定要求左右极限，然后确定二者是否相等；
幂指函数 d8ebd497ca1dd3fea331a1b5aab4bb85.png 的极限，如果是未定式极限， 一定要先化成
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