给定一个集合:B,设它的任何两个元素X和Y,都有B中的两个元素:XY和X+Y与之对应,并满足:1)交换律:XY=YXX+Y=Y+X2)结合律:X(YZ)=(XY)ZX+(Y+Z)=X+(Y+Z)3)吸收律:X+(XY)=(X+Y)X=X4)分配律:X(Y+Z)=XY+XZX+YZ=(X+Y)(X+Z)5)互补律:B中,有元素0和1,且对应一个X,就有一个X',满足:X+X'=1,XX'=0.此时称B为布尔代数。且X'为X的补元。B中的元素非0即1,只有两个元素。
布尔代数,是英国数学家G.布尔为了研究思维规律(逻辑学、数理逻辑)于1847和1854年提出的数学模型。它由在布尔代数的元素间永远成立的关系组成,而不管具体的那个布尔代数。
布尔代数起源于数学领域,是一个用于集合运算和逻辑运算的公式:〈B,∨,∧,¬〉。其中B为一个非空集合,∨,∧为定义在B上的两个二元运算,¬为定义在B上的一个一元运算。通过布尔代数进行集合运算可以获取到不同集合之间的交集、并集或补集,进行逻辑运算可以对不同集合进行与、或、非。
布尔代数定律:
互补律:
第一互补律:若A=0,则~A=1,若A=1,则~A=0 注:~A =NOT A
第二互补律:A*~A=0
第三互补律:A+~A=1
双重互补律:/<~A>=//A=A
交换律:
AND交换律:A*B=B*A
OR交换律: A+B=B+A
结合律:
AND结合律:A<B*C>=C*<A*B>
OR结合律: A+<B+C>=C+<A+B>
分配律:
第一分配律: A*<B+C>=<A*B>+<A*C>
第二分配律: A+<B*C>=<A+B>*<A+C>
重言律:
第一重言律: A*A=A 若A=1,则A*A=1;若A=0,则A*A=0。因此表达式简化为A
第二重言律: A+A=A 若A=1,则1+1=1;若A=0,则0+0=0。因此表达式简化为A
带常数的重言律:
A+1=1
A*1=A
A*0=0
A+0=A
吸收率:
第一吸收率: A*<A+B>=A
第二吸收率: A+<A*B>=A