大一高数题（洛必达法则）

Question

解：lim(x趋于0）[(1+x)^(1/x)-e]/x

Answer 1

把(1+x)^(1/x)化成e^ln[(1+x)^(1/x)]=e^[(1/x)*ln(1+x)]
则原式分子为e*(e^[(1/x)*ln(1+x)-1]-1)∽e*[(1/x)*ln(1+x)-1]
上面用了等价无穷小代换

lim(x趋于0）[(1+x)^(1/x)-e]/x=e*lim(x趋于0）[(1/x)*ln(1+x)-1]/x
=e*lim(x趋于0）[ln(1+x)-x]/x^2
洛必达法则[1/(1+x)-1]/2x=1/2(1+x)
原式极限为e/2

Answer 2

使用洛必达法则，必须观察极限是否属于0/0型，Inf/Inf型，或者通过变换能将原极限化为0/0型，Inf/Inf型，
对于此题，应该属于0/0型，直接对分子分母关于x求导，
lim(x趋于0）[(1+x)^(1/x)-e]/x
(对于分子求导，得先将其取对数e^(ln(分子）,分母求导为1）
=lim(x趋于0）（（e^(ln(1+x)/x））*(x/(1+x)-ln(1+x))/(x^2)
(lim(x趋于0)e^(ln(1+x)/x）=e)
=lim(x趋于0)e*(x/(1+x)-ln(1+x))/(x^2)
(后面部分仍然满足0/0型，继续用洛比达法则，关于分子分母求导）
=lim(x趋于0）e*((1+x-x)/(1+x)^2-1/(1+x))/(2*x)
(化简）
=lim(x趋于0）e*(-0.5/(1+x)^2)
=-0.5e

Answer 3

一楼错误，2楼方法正确，见到指数减e，一定要联想到提取e转化为e^x-1~x。不过2楼最后这步化简错了“[1/(1+x)-1]/2x=1/2(1+x)”少了一个负号，三楼方法不推荐，不过您要是对自己的计算能力比较有把握也没什么的，考试的时候时间紧想不到别的方法直接算也Ok，不过考研的题目经常是不化简或者等价代换就会越罗比达越复杂，因此最好还是平时多锻炼发现等价代换的能力。泰勒我一直不会搞。

Answer 4

极限肯定是负的，(1+x)^(1/x)是递增函数，极限是e
2楼那里不能用无穷小代换的，加减法不行，乘除可以
算了下，跟三楼过程差不多，是-e/2

Answer 5

最后结果是-e/2 ，本人用了积分中值定理并结合泰勒公式做了，也挺简单的，就不打了！