幂级数收敛半径不变性问题

Question

如图，幂级数逐项求导积分收敛半径不是不变吗

Answer 1

不是的，对于逐项求导，收敛域不变，
对于逐项积分收敛域可能会包括端点，当和函数在右端点，左连续的时候，且积分出来的级数在右端点收敛，
或，和函数在左端点右连续的时候，且积分出来的级数，在左端点收敛
这两种情况收敛域可能在左右端点，取道闭区间

简而言之，
逐项求导，没有什么
逐项积分，最好讨论一下端点，有可能收敛区间之前不含有端点，逐项积分之后包含了端点

Answer 2

11、f(x)=1/3x³-1/2x²+(1-a)ax+1
f'(x)=x²-x+(1-a)a=0
(x+a-1)(x-a)=0
x=a 或 x=1-a
（1）当a>1/2 时
当 x>a时 f'(x)>0
当1-a<x<a时 f'(x)<0
当 x<1-a 时 f'(x)>0
当x=1-a时，有极小值，则 -1<a<3
（2）当a<1/2 时
当 x>1-a时 f'(x)>0
当 a<x<1-a时 f'(x)<0
当 x<a 时 f'(x)>0
当x=a时，有极小值，则 -2<a<2
结合（1）（2），得 -2<a<3