离散数学的题目求解答

Question

如题所述

Answer 1

第3题，证明是群，同时满足下列4条件即可
1、封闭性（显然）
2、结合律
(a*b)*c=(a+b-2)*c=a+b-2+c-2=a+b+c-4
a*(b*c)=a*(b+c-2)=a+b+c-2-2=a+b+c-4
则(a*b)*c=a*(b*c)
3、单位元存在，是2，因为a*2=2*a=a
4、存在逆元，a⁻¹=4-a，因为a*(4-a)=2

第6题
显然单位元是群的幂等元。
用反证法，假设有非单位元a （a≠e，e为单位元），也是群中的幂等元。
则a²=a
等式两边同时乘以a⁻¹，得到
a²*a⁻¹=a*a⁻¹
即a²*a⁻¹=e
也即
a*(a*a⁻¹)=e
从而
a*e=e
即
a=e
这与a≠e的假设矛盾，因此群里的幂等元唯一。