我有一道中考题是数学题，请过路数学高手帮忙指点，求解题过程或思路。

Question

问题提出 (1)如图1.AB为半圆O的直径，点O为圆心，在弧AB上找到一点P.使得△PAB的面积最大，则点P的特殊位置是 。问题探究 (2)如图2,在正方形ABCD中,E为AB的中点,点F在AD上,连接FE、FC、EC,若FE=FC,且正方形ABCD的边长为4,求出△ECF的面积.问题解决(3)如图3,有一片平面示意图为矩形ABCD的试验田，点N在AD上,点M在CD上，连接MN、NB、MB,把该试验田划分为△ABN、△DMN、△BMC和△BMN四个区域.经过实地考查得知,AB=3NA=60m,∠NMB=45°，请你根据以上信息分析试验田所在的矩形ABCD是否存在最大面积?若存在,求出其最大值;若不存在,请说明理由.

Answer 1

第一个图形：
要使三角形PAB的面积最大.显然只有当PA=PB的时候PA*PB的值最大.半圆上的圆周角是直角.也就是说,当P点位于圆弧的中点时.
备注:这里隐含了这样一个常识,就是当两个乘数的和一定时,两个乘数的差越小,其积的值越大；两个乘数的和一定时，当两个乘数相等时，其积最大。另外,我们还可以证明,当AP=BP时,AP+BP的和的值最大。证明如下：把半圆上一点和直径两端点相连,形成一个三角形,由定理(圆内接三角形是直角三角形)可知,这个三角形是直角三角形.
设其中一个锐角为A,直径为d距离之和为:
l=d*sinA+dcosA=d*根号2*sin(A+45度)
由sin(A+45度)的最大值为1(当A=45度时候取得)
所以l的最大值为:根号2*直径,当A=45度时候,即半圆上一点到两端点的距离相等时。