交换代数的诺特环

Question

如题所述

Answer 1

环R称为诺特环，是指R的理想均是有限生成的。例如域和主理想整环都是诺特环。着名的希尔伯特基本定理是说，如果R为诺特环，则多项式环R【x1,x2,…,xn】也是诺特环。特别当k是域时，k【x1,x2,…,xn】是诺特环。　　环R中的理想q称为准素的，是指x丶y∈R，若xy∈q，必有x∈q或y∈q。诺特环的最重要性质是：每个理想均可表为有限个准素理想之交。由此推出，每个根式理想可以不计次序惟一地表成有限个彼此不包含的素理想之交。当k为代数封闭域时，由代数簇(不可约代数簇)和诺特环k【x1,x2,…,xn】中根式理想(素理想)的反序对应即知，kn中每个代数簇均可惟一地表成有限个彼此不包含的不可约代数簇之并，这就把kn中代数几何归结为不可约代数簇的研究，或者说，归结为诺特环的素谱Spec(R)的研究。