空间向量如何计算？

Question

如题所述

Answer 1

空间中具有大小和方向的量叫做空间向量。向量的大小叫做向量的长度或模（moduius)。
规定，长度为0的向量叫做零向量，记为0.
模为1的向量称为单位向量。
与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量。记为-a
方向相等且模相等的向量称为相等向量。
第一步：
按照图形建立三维坐标系O-xyz
之后，将点的坐标带进去，求出所需向量的坐标。
第二步：
求平面的法向量：
令法向量n=（x,y,z）
因为法向量垂直于此平面
所以n垂直于此面内两相交直线（其方向向量为a，b)
可列出两个方程
n·a=0,n·b=0
两个方程，三个未知数
然后根据计算方便
取z（或x或y）等于一个数（如：1，√2等）
代入即可求出面的一个法向量n的坐标了.
会求法向量后
1.斜线与平面所成的角就是求出斜线的方向向量与平面的法向量n的夹角，所求角为上述夹角的余角或者夹角减去π/2.
2.点到平面的距离就是求出该面的法向量n在平面上任取(除被求点在该平面的射影外）一点，
求出平面外那点和你所取的那点所构成的向量，记为a
点到平面的距离就是法向量n与a的数量积的绝对值|n·a|除以法向量的模|n|即得所求.
3.二面角的求法就是求出两个平面的法向量
可以求出两个法向量的夹角为两向量的数量积除以两向量模的乘积
：cos<n,m>=|n·m|/(|n||m|)
那么二面角就是上面求的两法向量的夹角或者它的补角。
4.设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面α,β的法向量分别为μ,ν
则
线线平行
l∥m<=>a∥b
<=>
a=kb
线面平行
l∥α<=>a⊥μ
<=>a·μ=0
面面平行
α∥β<=>μ∥ν
<=>μ=kν
线线垂直
l⊥m<=>a⊥b
<=>a·b=0
线面垂直
l⊥α
<=>a∥μ
<=>
a=kμ
面面垂直
α⊥β<=>
μ⊥ν
<=>μ·ν=0
5.向量的坐标运算：设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则
1.|a|=√（x1²+y1²)
2.a+b=(x1+x2,y1+y2)
3.a-b=(x1-x2,y1-y2)
4.ka=k(x1,y1)=(kx1,ky1)
5.a·b=x1x2+y1y2
6.a∥b<=>
x1y2=x2y1(一般写为：x1y2-x2y1=0)
7.a⊥b<=>
a·b=0<=>x1x2+y1y2=0
8.cos<a,b>=（a·b）/（|a|·|b|）=(x1x2+y1y2)
/
[
√(x1²+y1²)·√(x2²+y2²)
]
注：x1中的1为下标，以此类推

Answer 2

空间向量作为新加入的内容，在处理空间问题中具有相当的优越性，比原来处理空间问题的方法更有灵活性。
　　如把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为用向量解决，如何取向量或建立空间坐标系，找到所论证的平行垂直等关系，所求的角和距离用向量怎样来表达是问题的关键．
　　立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。这里比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，起到一个抛砖引玉的作用。
　　以下用向量法求解的简单常识：
　　1、空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在唯一的有序实数对x、y，使得
或对空间一定点O有
　　2、对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若：
（其中x＋y＋z=1），则四点P、A、B、C共面．
　　3、利用向量证a‖b，就是分别在a，b上取向量
（k∈R）．
　　4、利用向量证在线a⊥b，就是分别在a，b上取向量
．
　　5、利用向量求两直线a与b的夹角，就是分别在a，b上取
，求：
的问题．
　　6、利用向量求距离就是转化成求向量的模问题：
．
　　7、利用坐标法研究线面关系或求角和距离，关键是建立正确的空间直角坐标系，正确表达已知点的坐标．

Answer 3

其实空间向量的运算与平面向量的运算是一样的：
设：a=(1,2,3)，b=(2,1,2)，则：a·b=(1,2,3)·(2,1,2)=2+2+6=10
|
i
j
k
|
a×b=|1
2
3
|=4i+6j+k-4k-3i-2j=i+4j-3k=(1,4,-3)
|
2
1
2
|

Answer 4

a、b
的叉乘
a×b
仍是一个向量，这个向量与
a、b
都垂直，
且长度
|a×b|
=
|a||b|sin<a，b>
。
如果
a、b
同向，则夹角为
0，因此叉乘也是
0
。