一元多项式环在数论和代数中扮演着重要角色，它们的性质揭示了整环和域的深刻联系。首先，让我们深入了解几个关键定理。
定理1: 当一个整环
R 存在时，其一元多项式环
R[X] 也保持着整环的特性。尤为重要的是，它们的单位群
(R[X])* 和
R* 是等价的。这是因为
R 的单位性质自然而然地传递到了
R[X] 中，非零常数多项式成为不可约元素，它们构成了单位群的基础。
接着，我们有:
在 R[X] 中，如果 f(X) 属于主理想 (a)，那么 f(X) 可以写成 a·g(X)，表明 f(X) 由一个元素生成的理想，这正是主理想的定义。
定理2: 当我们把焦点转向域
F 上的一元多项式环
F[X]，它揭示了一个惊人的特性：它是主理想整环，这意味着
F[X] 的每一个理想都可以由一个元素生成。例如，整数环
Z 的理想皆为主理想，因此
Z[X] 便满足这一条件。
进一步探讨，我们看到:
证明 F[X] 是主理想整环的关键在于，对于每个非零理想 I，都能找到一个多项式 f(X)，使得 I=(f)。这要求我们通过多项式除法，如 I 中的 g(X) 可以表示为 h(X)·f(X)，从而揭示了 f(X) 的生成性。
定理3: 令人瞩目的是，
F[X] 不仅是主理想整环，而且还是唯一因子分解整环。这里的“唯一”指的是每个非零非单位元素都可以唯一地分解成不可约元素的乘积。以算术基本定理为例，整数的素因数分解在多项式环中同样适用，只是多了一个常数项的相伴关系。
总结以上定理，我们有：
整数环 Z 和一元多项式环 F[X] 均是唯一因子分解整环，这进一步展示了它们在代数结构中的特殊地位。