高三立体几何数学题：正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，E为CD中点，F为AA1的中点，那么过E、F、B1三点

Question

正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，E为CD中点，F为AA1的中点，那么过E、F、B1三点的平面将正方体分割为两部分多面体，求这两部分多面体的体积之比

Answer 1

正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，E为CD中点，F为AA1的中点，那么过E、F、B1三点的平面将正方体分割为两部分多面体，求这两部分多面体的体积之比

 

建立以D为原点，以DA方向为X轴，以DC方向盘为Y轴，以DD1方向为Z轴正方向的空间直角坐标系D-xyz

则点坐标D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a,a,0)，C(0,a,0)，A1(a,0,a)，B1(a,a,a)，C1(0,a,a)，D1(0,0,a)，

E(0,a/2,0)，F(a,0,a/2)

向量B1E=(-a,-a/2,-a)

向量B1F=(0,-a,-a/2)

设向量m=(x,y,z)为面B1EF的一个法向量

向量m·B1E=-ax-a/2y-az=0

向量m·B1F=-ay-a/2z=0

令z=1，则y=-1/2，x=-3/4

∴向量m=(-3/4,-1/2,1)

 

设面B1EF与CC1交于G(0,a,z)

向量B1G=(-a,0,z-a)

令向量m·B1G=3/4a+0+z-a=0==>z=a/4

∴G(0,a,a/4)

 

设面B1EF与AD交于H(x,0,0)

向量B1H=(x-a,-a,-a)

令向量m·B1H=-3/4x+3/4a+1/2a-a=0==>x=a/3

∴H(a/3,0,0)

∴截面B1FHEG截正方体为上下二部分

以下求下部分体积：

1）B到面B1FHEG的距离d(B)：

由前述知向量m=(-3/4,-1/2,1) 为面B1EF的一个法向量

|向量m|=√29/4

向量B1B=(0,0,-a)

向量m·B1B=-a

∴d(B)=|向量m·B1B|/[|向量m|·|B1B|]=a/[√29/4*a]=4√29/29

下部分体积=V(B-AFH)+V(B-B1FHE)+V(B-B1EG)+V(B-CEG)

V(B-AFH)=1/3*AB*S(⊿AFH)=1/3*a*1/2*(a/2*2a/3)=a^3/18

V(B-CEG)=1/3*BC*S(⊿CEG)=1/3*a*1/2*(a/2*a/4)=a^3/48

向量FE=(-a,a/2,-a/2)==>|向量FE|=√6/2a

向量HB1=(2a/3,a,a)==>|向量HB1|=√22/3a

向量FE·向量HB1=-2a^2/3+a^2/2-a^2/2=-2a^2/3

cos<向量FE,向量HB1>=向量FE·向量HB1/[|向量FE|·|向量HB1|]

=-2√33/33

设向量FE，向量HB1夹角为θ

∴cosθ=2√33/33==>sinθ=√(29/33)

∴S(HEB1F)=1/2*|向量FE|*|向量HB1|sinθ

=1/2*√6/2a*√22/3a*√(29/33)=√29/3a^2

∴V(B-B1FHE)=1/3*S(HEB1F)*d(B)=1/3*√29/3a^2*4√29/29=4/9a^2

|EB1|=3/2a，|EG|=√5/4a，|B1G|=5/4a，

设s=1/2(|EB1|+|EG|+|B1G|)==(11+√5)/8a

S(⊿B1EG)=√[s(s-|EB1|)(s-|EG|)(s-|B1G|)]=√29/16a^2

∴V(B-B1EG)=1/3*S(⊿B1EG)*d(B)=1/3*√29/16a^2*4√29/29=1/12a^2

∴下部分体积=V(B-AFH)+V(B-B1FHE)+V(B-B1EG)+V(B-CEG)

= a^3/18+4/9a^2+1/12a^2+a^3/48

=11/144a^3+19/36a^2

∴上部分体积=133/144a^3-19/36a^2

V上/V下=(133a-76)/(11a+76)

仅供参考

Answer 2

体积比和正方体的边长没有关系，可先作出过三点的截面，再计算两部分的面积。

如图，延长B₁F和BA相交于G，连接EG和AD交于H，和BC延长线交于M，

连接B₁M和C₁C交于N，则多边形B₁NEHF为所求截面。

为了计算简便，假设正方形连长为6个单位，根据比例关系有：

AG＝A₁B₁＝6

HD/HA＝DE/AG＝1/2  ===> HA＝4， HD＝2

CM＝HD＝2

CN/BB₁ ＝CM/BM＝1/4 ===> CN＝3/2

线段长度标注如图。

设截面所截正方体下部的体积为Vx，

则： Vx＝V(B₁－BMG)－V(N－CME)－V(F－AHG)

===>  Vx＝BG*BM*B₁B/6 － CM*CE*CN/6 － AH*AG*AF/6

               ＝12*8*6/6 － 2*3*3/12 － 4*6*3/6

               ＝96－3/2－12＝82.5

总体积Vz＝216

因此两部分比＝82.5/133.5＝55/89

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