基数是一个数学术语。
基数在数学上,是集合论中刻画任意集合大小的一个概念。两个能够建立元素间一一对应的集合称为互相对等集合。例如3个人的集合和3匹马的集合可以建立一一对应,是两个对等的集合。
根据对等这种关系对集合进行分类,凡是互相对等的集合就划入同一类。这样,每一个集合都被划入了某一类。任意一个集合A所属的类就称为集合A的基数,记作|A|(或cardA)。这样,当A 与B同属一个类时,A与B 就有相同的基数,即|A|=|B|。而当 A与B不同属一个类时,它们的基数也不同。
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基数可以比较大小。
假设A,B的基数分别是a,β,即|A|=a,|B|=β,如果A与B的某个子集对等,就称 A 的基数不大于B的基数,记作a≤β,或β≥a。如果 a≤ β,但a≠β( 即A与B不对等 ),就称A的基数小于B的基数,记作a<β,或β>a。
在承认选择公理的情况下,可以证明基数的三歧性定理——任何两个集合的基数都可以比较大小,即不存在集合A和B,使得A不能与B的任何子集对等,B也不能与A的任何子集对等。
基数是集合论中刻画任意集合大小的一个概念。两个能够建立元素间一一对应的集合称为互相对等集合。例如3个人的集合和3匹马的集合可以建立一一对应,两个对等的集合。
基数概念由康托尔(Cantor,G.F.P.)首先提出的。他认为集合A的基数是一切与A有等势关系的集都具有的共同特征,是对A的元素进行属性及次序双重抽象之后的结果,所以用A=表示(现在较多用|A|表示).弗雷格(Frege,(F.L.)G.)与罗素(Russell,B.A.W.)分别在1884年与1902年把A=定义为所有与A等势的集合所成之集,即A=={B|B~A}。
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对于无穷集,传统概念没有个数,而按基数概念,无穷集也有基数,例如,任一可数集(也称可列集)与自然数集N有相同的基数,即所有可数集是等基数集。不但如此,还可以证明实数集R与可数集的基数不同。所以集合的基数是个数概念的推广。
基数可以比较大小。假设A,B的基数分别是a,β,|A|=a,|B|=β,A与B的某个子集对等,就称 A 的基数不大于B的基数,记作a≤β。
在现代公理集合论中普遍采用这一定义,两个集合A与B具有相同基数,当且仅当A~B。所有基数组成的类记为card,每个自然数都是初始序数。所以自然数都是基数,以自然数为基数的集合称为有限集,否则称为无限集,无穷集合的基数用希伯来字母。
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